宮川　鉄朗
神戸大学理学部数学科
解析数理講座　教ｼ??
関数解析教育研究分ﾌ?
E-mail: miyakawa@math.kobe-u.ac.jp Tel: 078-803-5602

研究テーマ：

流体の運動方程式の研ｵ?

我々の身の回りに普通に見られる流体の運動は非線形の偏微分方程式系で記述される。 単純な構造を持つ方程式ではあるが、 それに支配される流れは多様なパターンの形成や崩壊を伴う。 方程式の代数的あるいは解析的性質と、対応する現象との関係を、 解析学の立場から追求するのが主要な課題である。 流体の運動方程式は１９世紀初めから半ばにかけて定式化されたが、 その強い非線形性と、それを解析する数学的手法の未発達のため、 １９世紀中はほとんど目立った研究がなされなかった。 最初の成果が得られたのは１９３０年代に入ってからである。 微分方程式論の立場から、解の存在や安定性、漸近挙動、定常流のパターン変化、 流れの中の乱れの発生機構等の数理を研究するのが主要な課題である。

何ができたか：

これまで主として有限物体の周りの流れの研究を行ってきた。 数学的定式化と枠組みの構築、それを用いての解の存在と漸近挙動 の研究、特にエネルギー空間での解の長時間挙動について、 解の第一近似を取り出すことを試み、ほぼ完全な解答を得た。 同時に物体の存在しない全空間上で同じ問題に取り組み、 物体の有無が流れの漸近挙動に与える影響を明確な形で特定す､? ことが出来た。またこの問題に関して、最近急速に発展した 調和解析の理論や手法が、運動方程式の構造そのものによく 適合することを見出し、それらの理論や手法を適用することに より新しい知見を得ることが出来ることを示した。

これから：

流体の運動方程式について知られた結果は、 空間次元の違いのより著しく異なる。 ２次元流については基礎理論はほぼ完成しているが我々に最も身近な３次元流に ついては、解の一意性となめらかさの問題が依然未解決のまま残っている。 この問題の解決には多くの困難がすでに指摘されているが、 完全な解決に向けて一歩でも二歩でも近づければいいと思っている。 特に解が特異点を持つかどうかは、 流れの中の渦の発生と消滅の機構と密接な関連があると信じられているが、 具体的な流れの研究を離れても、 方程式そのものの代数的構造との絡みで数学的には極めて重要な問題であり、 解決に向けていささかなりとも貢献出来れば、と考えている。

また、流体の運動方程式の具体的な形は、 対象とする流体の物性によりその性格が著しく異なる。これまでは主に、 Newton 流体と呼ばれる極く普通の流体（水など）の方程式を扱って来たが、 最近は応用科学において、 例えば血液流やコロイド等の運動を表すﾈ? Newton 流体の研究の重要性が増して来ている。 これらの方程式の扱いには Newton 流体の場合とは 全く異なる発想と手法が要求され、研究はその端緒についたばかりである。 これらの問題の研究を通じて、 数学としての非線形解析学の理論そのものの内容がいっそう豊かになることが 期待されており、今後は研究の重点をﾈ? Newton 流体に移して行きたいと思っている。

関連する論文
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  2. Y. Fujigaki and T. Miyakawa, Asymptotic profiles of nonstationary incompressible Navier-Stokes flows in the whole space. SIAM J. Math. Anal. 33 (2001), 523--544.
  3. Y. Fujigaki and T. Miyakawa, Asymptotic profiles of nonstationary incompressible Navier-Stokes flows in the half-space. Methods and Applications of Analysis 8 (2001), 121--158.
  4. Y. Fujigaki and T. Miyakawa, On solutions with fast decay of nonstationary Navier-Stokes system in the half-space. In "Nonlinear Problems in Mathematical Physics and Related Topics I", M.S.Birman, S.Hildebrandt, V.A.Solonnikov and N.N.Uraltseva, eds., Kluwer/Plenum, New York, 2002, to appear.
  5. T. Miyakawa, On upper and lower bounds of rates of decay for nonstationary Navier-Stokes flows in the whole space. Hiroshima Math. J., 2002, to appear.
  6. T. Miyakawa, On space-time decay properties of nonstationary incompressible Navier-Stokes flows in $R^n$. Funkcialaj Ekvacioj 43 (2000), 541--557.
  7. T. Miyakawa, Notes on space-time decay properties of nonstationary incompressible Navier-Stokes flows in $R^n$. Funkcialaj Ekvacioj 45 (2002), 271--289.
  8. T. Miyakawa, Application of Hardy space techniques to the time-decay problem for incompressible Navier-Stokes flows in $R^n$. Funkcial Ekvac 41 (1998), 383--434.
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  16. C. He and T. Miyakawa, On weighted norm estimates for solutions to the Navier-Stokes equations in an exterior domain. Preprint, 2002.