友数または親和数というものを聞いたことがあるだろうか. 友数とは２つの数の組で, 片方の約数から自分自身を除いたものの総和が もう片方の数になり, もう片方の約数から自分自身を除いたものの総和も 初めの数になるような２つの数の組である.
たとえば 220 と 284 を考えてみよう. 220 の約数は 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220 であり, 220 以外を すべて足すと 284 になる. 一方, 284 の約数は 1, 2, 4, 71, 142, 284 で, すべて足すと 220 となる. 約数を足すとお互いに相手になるのである. このような ２つの数を友数と呼ぶ.
友数は２つの数であったが, ２つ以上の数で同じようなことになる組は無いか 気になる. つまり n 個の数の組で, １つ目の数の自分以外の約数の和は２つ目となり, ２つ目のそれは３つ目となり, ... n 個目の数のそれは１つ目の数になる. このような n 個の数の組である.
これをここでは n 人組み友数と呼ぼう.
n=1 のときこの数は完全数と呼ばれる. n=2 のときは上の友数である.
数学ソフトのマスマティカで, n 人組みの友数を見つけるプログラムを 作ってみた. ７人以下の組の友数を 100000 以下の数で 見つけるというプログラムである. 結果は以下の通りとなった.
| 6 | 完全数 |
| 28 | 完全数 |
| 220,284 | ２人組友数 |
| 496 | 完全数 |
| 1184,1210 | ２人組友数 |
| 2620,2924 | ２人組友数 |
| 5020,5564 | ２人組友数 |
| 6232,6368 | ２人組友数 |
| 8128 | 完全数 |
| 10744,10856 | ２人組友数 |
| 12285,14595 | ２人組友数 |
| 12496,14288,15472,14536,14264 | ５人組友数 |
| 17296,18416 | ２人組友数 |
| 63020,76084 | ２人組友数 |
| 66928,66992 | ２人組友数 |
| 67095,71145 | ２人組友数 |
| 69615,87633 | ２人組友数 |
| 79750,88730 | ２人組友数 |
表を見ると(もう少し大きい数まで調べたいが) いろいろ疑問が湧いてくる. これらは無限に存在するか？ ３人, ４人組友数は無いのか？ 奇数の n 人組友数は無いのか？(n=1,2の場合未解決. 3以降は不明) 友数は素数などに比べてかなり少ないようだが, 数が大きくなるとどのような割合で現れるのか？ 数が大きくなったとき２人組友数の数の比は極限を持つか？持つならいくらか？ などなど. どれか１つでも(未解決とかいてあるのは特に)解けたら すごい.
他に友愛数と呼ばれるものもある. 友数では約数を足すとき自分自身を除いたが, 1 と自分自身を除いて同じことが起こる数をいう. こちらもすこし求めてみた.
| 48, 75 | ２人組友愛数 |
| 140, 195 | ２人組友愛数 |
| 1050, 1925 | ２人組友愛数 |
| 1575, 1648 | ２人組友愛数 |
| 2024, 2295 | ２人組友愛数 |
| 5775, 6128 | ２人組友愛数 |
| 8892, 16587 | ２人組友愛数 |
| 9504, 20735 | ２人組友愛数 |
| 62744, 75495 | ２人組友愛数 |
こちらもいろいろ疑問がある. たとえばすべてが奇数, 偶数の組になっている. 奇数同士, 偶数同士のは存在するか？(未解決) ３人組以上のはあるか？ などなど.