確率 1/10 で当たるんなら 10 回やれば当たる？

たまに上のようなことを耳にするが確かになんか正しそうに見える. 箱の中に当たりくじが１個, はずれが９個入っているとしよう. 引いたくじは箱の中に戻さないとすれば, 10人がくじを引けば必ず誰かが当たる.

しかし, 引いたくじを箱の中に戻すとすれば, どうなるか？確率は毎回 1/10 である. これを 10 回するので一回でも当たる確率は (1/10)×10 で１とするのは誤りである. 正解を求めてみよう.

まず, 一回も当たることがない, すなわち, 一回も当たらない確率を求めよう. それで出た答えを全体の確率, すなわち１から引けばよいのである.

一回外れる確率は 9/10(=1-(1/10)). これを 10 回行うので, すべて外れる確率は (9/10)¹⁰となる. あとは１からこれを引いて,

1-(9/10)¹⁰=0.651322…≒65.13%

となり, 確率は半分強となる. 意外と少ない？多い？参考までに, 1/20 を 20 回などの確率を書いておく.

おまけ

では, 小さい確率のものを何回もやったら確率はどうなるか？を考えてみよう. つまり, 確率 1/n で当たるくじを, n 回引いたら, どれぐらいの確率で当たるか？である. 上で, 10 でやったものを, 文字 n とおいてやればよいので, 確率は,

1-(n-1/n)ⁿ

となる. これを p(n) と置こう. n がどんどん大きくなっていったときこの値は何に近づくか求めてみよう. こういう値のことを極限値と呼ぶ. ここではこれを lim p(n), n->∞ と書くことにしよう.

高校の微分積分（今は数学III？）を習っていれば求められる. まず, 自然対数の低 e は

lim (1+(1/n))ⁿ, n->∞

で定義されていたことを思い出そう. 上の式と見比べるとなんか似ている. 上の式をうまく変形してこの形が出てくるようにすればよい.

p(n)=1-(n-1/n)ⁿ =1-(1/(n/n-1))ⁿ =1-(1/(1+1/(n-1)))ⁿ

となるので,

lim p(n), n->∞ =1-1/e

となる. e=2.718281828459045… なのでこの値は 0.63212… と求められる.