たまに上のようなことを耳にするが 確かになんか正しそうに見える. 箱の中に当たりくじが1個, はずれが9個入っているとしよう. 引いたくじは箱の中に戻さないとすれば, 10人が くじを引けば必ず誰かが当たる.
しかし, 引いたくじを箱の中に戻すとすれば, どうなるか? 確率は毎回 1/10 である. これを 10 回するので 一回でも当たる確率は (1/10)×10 で1とするのは誤りである. 正解を求めてみよう.
まず, 一回も当たることがない, すなわち, 一回も当たらない 確率を求めよう. それで出た答えを全体の確率, すなわち1から引けばよいのである.
一回外れる確率は 9/10(=1-(1/10)). これを 10 回行うので, すべて外れる確率は
(9/10)10となる.
あとは1からこれを引いて,
1/2 を2回 | 75.00% |
1/5 を5回 | 67.23% |
1/10 を10回 | 65.13% |
1/20 を20回 | 64.15% |
1/50 を50回 | 63.58% |
1/100 を100回 | 63.40% |
1/256 を256回 | 63.28% |
1/512 を512回 | 63.25% |
1/1024 を1024回 | 63.23% |
では, 小さい確率のものを何回もやったら確率はどうなるか?
を考えてみよう.
つまり, 確率 1/n で当たるくじを, n 回引いたら, どれぐらいの確率で当たるか?
である.
上で, 10 でやったものを, 文字 n とおいて
やればよいので, 確率は,
高校の微分積分(今は数学III?)を習っていれば
求められる.
まず, 自然対数の低 e は