板書修正 続き

• 黒板 9. 定理 4.12.

  $\sum_{p=0}^n \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}\right)^p f$ で $1/p!$ を書き忘れています.
  $\sum_{p=0}^n \frac{1}{p!} \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}\right)^p f$ が正しい.

• 黒板 10-b. 例 4.2 (2).

  
  極限があることを言うには $(0,0)$ へ収束する任意の点列 $(a_n,b_n)$ に対して, $f(a_n,b_n)$ が同じ値に収束することをいわないといけません。 黒板 10-b の解答は不十分です.
  まず $a_n = r_n \cos \theta_n$, $b_n = r_n \sin \theta_n$ と極座標表示すると, $(a_n,b_n) \rightarrow (0,0)$ より, $r_n \rightarrow 0$ となります. 黒板のようにいきなり極座標で書き直すと分母が $0$ になる場合もあるので 処理が難しくなります. したがって前処理が必要となります. $$ \left| \frac{x^3+y^5}{x^2+y^4} \right| \leq \left| \frac{x^3}{x^2+y^4} \right| + \left| \frac{y^5}{x^2+y^4} \right| $$ と変形し, $x^2+y^4 \geq x^2$, $x^2 + y^4 \geq y^4$ をそれぞれの項に適用すると, $$ \left| \frac{x^3+y^5}{x^2+y^4} \right| \leq \left| \frac{x^3}{x^2} \right| + \left| \frac{y^5}{y^4} \right| $$ となり, 右辺は $$ r_n |\cos \theta_n| + r_n |\sin \theta_n | \leq 2r_n $$ となります. 今 $r_n \rightarrow 0$ となるので極限は $0$ となります.