1変数代数的局所コホモロジー類用パッケージ taji_alc

1変数代数的局所コホモロジー類用パッケージ taji_alc

1.0 版

2007 年 11 月

庄司卓夢, 田島慎一

Copyright © Takumu Shoji, Shinichi Tajima. 2007. All rights reserved. Licensed by GPL.


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1 1変数代数的局所コホモロジー類


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1.1 1変数代数的局所コホモロジー類用のパッケージ taji_alc について

この説明書では 1変数代数的局所コホモロジー類用のパッケージ taji_alc について説明する. 数学的解説や背景については, 解説記事 “1変数代数的局所コホモロジー類用に対する Risa/Asir 用パッケージ taji_alc” (Risa/Asir Journal (2007)) およびその参考文献を参照.


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1.2 1変数代数的局所コホモロジー類用の関数

本セクションの関数を呼び出すには,

import("taji_alc.rr")$

を実行してプログラムをロードする.


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1.2.1 taji_alc.cpfd

taji_alc.cpfd(num,den)

:: 有理関数num/denの部分分数分解を求める.

return

switchが0か1ならば, [[[分子,[分母の因子,重複度]],...],...] なるリスト.

switchが10か11ならば, [[分子,[分母の因子,重複度]],...] なるリスト.

num

(有理関数の分子の) 多項式

den

(有理関数の分母の) 多項式

または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト

switch

オプション指定

case 0 : completeな部分分数分解を返す. (分子は有理数係数多項式)

case 1 : completeな部分分数分解を返す. (分子は整数係数化リスト)

case 10 : 分母を冪展開しない部分分数分解を返す. (分子は有理数係数多項式)

case 11 : 分母を冪展開しない部分分数分解を返す. (分子は整数係数化リスト)

default : case 0

[235] taji_alc.cpfd(x^3-x-1,x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1);
[[[1/2*x-1,[x^2+1,1]]],[[-1/2,[x+1,2]],[1/2,[x+1,1]]]]
[236] taji_alc.cpfd(x^3-x-1,x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1|switch=1);
[[[[x-2,2],[x^2+1,1]]],[[[-1,2],[x+1,2]],[[1,2],[x+1,1]]]]
[237] taji_alc.cpfd(x^3-x-1,x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1|switch=10);
[[1/2*x-1,[x^2+1,1]],[1/2*x,[x+1,2]]]
[238] taji_alc.cpfd(x^3-x-1,x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1|switch=11);
[[[x-2,2],[x^2+1,1]],[[x,2],[x+1,2]]]
参照

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1.2.2 taji_alc.snoether

taji_alc.snoether(num,den)

:: 有理関数num/denが定める代数的局所コホモロジー類のネーター作用素を求める.

return

[[因子,ネーター作用素],...] なるリスト.

ネーター作用素は, 係数を高階の部分から降順に並べたリスト

num

(有理関数の分子の)多項式

den

(有理関数の分母の)多項式

または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト.

switch

オプション指定

case 0 : ネーター作用素を [有理数係数多項式,...] なるリストで返す.

case 1 : ネーター作用素を [整数係数化リスト,...] なるリストで返す.

case 10 : ネーター作用素を [[整数係数多項式,...],整数] なるリストで返す.

case 20 : ネーター作用素を [[整数係数化リスト,...],整数] なるリストで返す.

default : case 0

[296] taji_alc.snoether(1,[[x^3-x-1,3]]);
[[x^3-x-1,[9/529*x^2-27/1058*x+11/1058,-81/529*x^2-9/529*x+135/529,-49
05/12167*x^2+4563/12167*x+3270/12167]]]
[299] taji_alc.snoether(1,[[x^3-x-1,3]]|switch=1);
[[x^3-x-1,[[18*x^2-27*x+11,1058],[-81*x^2-9*x+135,529],[-4905*x^2+4563
*x+3270,12167]]]]
[297] taji_alc.snoether(1,[[x^3-x-1,3]]|switch=10);
[[x^3-x-1,[[414*x^2-621*x+253,-3726*x^2-414*x+6210,-9810*x^2+9126*x+65
40],24334]]]
[298] taji_alc.snoether(1,[[x^3-x-1,3]]|switch=20);
[[x^3-x-1,[[[18*x^2-27*x+11,529],[-162*x^2-18*x+270,529],[-9810*x^2+91
26*x+6540,12167]],2]]]

[241] taji_alc.snoether(x^3+1,x^18-2*x^14+x^10-x^8+2*x^4-1|switch=10);
[[x^4+x^3+x^2+x+1,[[-2*x^2-x-2],50]],[x^4-x^3+x^2-x+1,[[-2*x^3+4*x^2-x
-2],50]],[x^2+1,[[-x+1,8*x+5],32]],[x+1,[[-6,-39],320]],[x-1,[[2,-24,6
7],320]]]
参照

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1.2.3 taji_alc.laurent_expansion

taji_alc.laurent_expansion(num,den)

:: 有理関数num/denの極におけるローラン展開の主要部の係数を求める.

return

[[因子,ローラン展開の係数],...] なるリスト.

ローラン展開の係数は, 高位の係数から順に並べたリスト.

num

(有理関数の分子の)多項式

den

(有理関数の分母の)多項式

または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト

switch

オプション指定

case 0 : ローラン展開の係数を [有理数係数多項式,...] なるリストで返す.

case 1 : ローラン展開の係数を [整数係数化リスト,...] なるリストで返す.

case 10 : ローラン展開の係数を [[整数係数多項式,...],整数] なるリストで返す.

case 20 : ローラン展開の係数を [[整数係数化リスト,...],整数] なるリストで返す.

default : case 0

[354] taji_alc.laurent_expansion(x,(x-1)^3);
[[x-1,[1,1,0]]]
[356] taji_alc.laurent_expansion(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1,(x^4+1)^3);
[[x^4+1,[1/64*x^2+1/64*x,1/16*x^3+1/16*x^2-3/128*x-5/128,-5/128*x^3-1/
8*x^2-3/16*x]]]
参照

taji_alc.snoether

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1.2.4 taji_alc.residue

taji_alc.residue(num,den)

:: 有理関数num/denの極における留数を求める.

return

[[因子,留数],...] なるリスト

num

(有理関数の分子の) 多項式

den

(有理関数の分母の) 多項式

または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト

switch

オプション指定

case 0 : 留数を有理数係数多項式で返す.

case 1 : 留数を整数係数化リストで返す.

default : case 0

pole

オプション指定

[因子,...] なるオプションリスト

[221] taji_alc.residue(x^8,[[x^3-x-1,3]]);
[[x^3-x-1,-2243/12167*x^2+2801/12167*x+5551/12167]]
[222] taji_alc.residue(x^2+x,[[x+1,3],[x-1,3],[x^2+3*x-1,2]]);
[[x^2+3*x-1,-284/4563*x-311/1521],[x-1,89/432],[x+1,7/432]]
[223] taji_alc.residue(x^2+x,[[x+1,3],[x-1,3],[x^2+3*x-1,2]]|switch=1)
;
[[x^2+3*x-1,[-284*x-933,4563]],[x-1,[89,432]],[x+1,[7,432]]]
[234] taji_alc.residue(x^2+x,[[x+1,3],[x-1,3],[x^2+3*x-1,2]]|switch=1,
pole=[x+1]);
[[x+1,[7,432]]]
[225] taji_alc.residue(x^3+1,x^18-2*x^14+x^10-x^8+2*x^4-1);
[[x^4+x^3+x^2+x+1,-1/25*x^2-1/50*x-1/25],[x^4-x^3+x^2-x+1,-1/25*x^3+2/
25*x^2-1/50*x-1/25],[x^2+1,1/4*x+5/32],[x+1,-39/320],[x-1,67/320]]
参照

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1.2.5 taji_alc.invpow

taji_alc.invpow(poly,f,m)

:: 剰余体Q[x]/<f>上でのpolyの逆元のm乗を求める.

return

逆冪

poly

多項式

f

Q上で既約な多項式

m

自然数

switch

オプション指定

case 0 : 逆冪を有理数係数多項式で返す.

case 1 : 逆冪を整数係数化リストで返す.

default : case 0

[236] taji_alc.invpow(3*x^2-1,x^3-x-1,1);
-6/23*x^2+9/23*x+4/23
[237] taji_alc.invpow(3*x^2-1,x^3-x-1,1|switch=1);
[-6*x^2+9*x+4,23]
[238] taji_alc.invpow(3*x^2-1,x^3-x-1,30|switch=1);
[1857324483*x^2-2100154824*x-477264412,266635235464391245607]
参照

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1.2.6 taji_alc.rem_formula

taji_alc.rem_formula(polylist)

:: 多項式f(x)を与えたときの剰余公式を求める.

return

switch および 説明文を参照

polylist

f(x)をQ上で既約分解した [[因子,重複度,零点の記号],...] なるリスト

switch

オプション指定

case 0 : xの冪で整理し, リストで返す.

case 10 : f(x)の冪で整理し, リストで返す. (一因子の場合のみ対応)

case 20 : xの冪で整理し, symbolicな表現で返す.

default : case 0

[583] taji_alc.rem_formula([[x-1,1,z1],[x-2,1,z2]]);
[[-x+2],[x-1]]
[584] taji_alc.rem_formula([[x-1,1,z1],[x-2,1,z2]]|switch=20);
(-p^(0)(z1)+p^(0)(z2))*x+2*p^(0)(z1)-p^(0)(z2)

[587] taji_alc.rem_formula([[x-1,2,z1]]);
[[x-1,1]]
[588] taji_alc.rem_formula([[x-1,2,z1]]|switch=20);
p^(1)(z1)*x-p^(1)(z1)+p^(0)(z1)

[494] taji_alc.rem_formula([[x-1,3,z1]]|switch=20);
1/2*p^(2)(z1)*x^2+(-p^(2)(z1)+p^(1)(z1))*x+1/2*p^(2)(z1)-p^(1)(z1)+p^(
0)(z1)

[229] taji_alc.rem_formula([[x+1,2,z1],[x^3-x-1,1,z2]]);
[[-x^4-x^3+x^2+2*x+1,-2*x^4-3*x^3+2*x^2+5*x+3],[(-1/23*z2^2-10/23*z2+1
6/23)*x^4+(-12/23*z2^2-5/23*z2+31/23)*x^3+(-5/23*z2^2+19/23*z2-12/23)*
x^2+(22/23*z2^2+13/23*z2-53/23)*x+16/23*z2^2-1/23*z2-26/23]]
[230] taji_alc.rem_formula([[x+1,2,z1],[x^3-x-1,1,z2]]|switch=20);
(-1/23*p^(0)(z2)*z2^2-10/23*p^(0)(z2)*z2-2*p^(0)(z1)+16/23*p^(0)(z2)-p
^(1)(z1))*x^4+(-12/23*p^(0)(z2)*z2^2-5/23*p^(0)(z2)*z2-3*p^(0)(z1)+31/
23*p^(0)(z2)-p^(1)(z1))*x^3+(-5/23*p^(0)(z2)*z2^2+19/23*p^(0)(z2)*z2+2
*p^(0)(z1)-12/23*p^(0)(z2)+p^(1)(z1))*x^2+(22/23*p^(0)(z2)*z2^2+13/23*
p^(0)(z2)*z2+5*p^(0)(z1)-53/23*p^(0)(z2)+2*p^(1)(z1))*x+16/23*p^(0)(z2
)*z2^2-1/23*p^(0)(z2)*z2+3*p^(0)(z1)-26/23*p^(0)(z2)+p^(1)(z1)

[231] taji_alc.rem_formula([[x^3-x-1,2,z]]|switch=10);
[[[(3/23*z^2-4/23)*x^2+(-1/23*z+3/23)*x-4/23*z^2+3/23*z+4/23,(162/529*
z^2-174/529*z-108/529)*x^2+(-105/529*z^2+54/529*z+70/529)*x-108/529*z^
2+116/529*z+72/529],[(-6/23*z^2+9/23*z+4/23)*x^2+(9/23*z^2-2/23*z-6/23
)*x+4/23*z^2-6/23*z+5/23]]]
参照

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1.2.7 taji_alc.solve_ode_cp

taji_alc.solve_ode_cp(poly,var,exppoly)

:: 有理数係数の線形常微分方程式のコーシー問題

の解を求める.

ただし, Pはn階の有理数係数の線形常微分作用素, f(z)は指数多項式とする.

return

2通りの表現がある.

・表現1 (コーシーデータで整理した形)

コーシー問題の一般解u(z)は,

なる線形結合の形で与えられる. をコーシー問題の基本解, をコーシー問題の特殊解といい,

[u_0(z),...,u_(n-1)(z),v(z)]

なるリストで返す. 基本解と特殊解は, 指数多項式リストである.

・表現2 (指数関数で整理した形)

dataにコーシーデータを与えると, コーシー問題の一般解u(z)の のところにデータを代入し, それを指数関数で整理し直した指数多項式リストを返す.

poly

多項式 (Pの特性多項式)

または (Pの特性多項式をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト

var

不定元 (関数の独立変数)

exppoly

斉次形のとき0, 非斉次形のときf(z)の指数多項式リスト.

switch

オプション指定

case 0 : 指数多項式リストの2番目の成分を有理数係数多項式で返す.

case 1 : 指数多項式リストの2番目の成分を整数係数化リストで返す.

default : case 0

data

オプション指定

コーシーデータを [c_0,...,c_(n-1)] の順に並べたリスト.

[287] taji_alc.solve_ode_cp(x*(x-3)^2,z,0);
[[[x-3,0],[x,1]],[[x-3,-z+2/3],[x,-2/3]],[[x-3,1/3*z-1/9],[x,1/9]]]

[289] taji_alc.solve_ode_cp((x^3-x-1)^2,z,0|switch=1);
[[[x^3-x-1,[(92*z+200)*x^2+(-69*z-254)*x-92*z+43,529]]],[[x^3-x-1,[(92
*z+420)*x^2+(-46*z-216)*x-161*z-280,529]]],[[x^3-x-1,[(-69*z-195)*x^2+
(23*z+327)*x+23*z+130,529]]],[[x^3-x-1,[(-161*z-270)*x^2+(69*z+290)*x+
184*z+180,529]]],[[x^3-x-1,[-105*x^2+(-23*z+54)*x+69*z+70,529]]],[[x^3
-x-1,[(69*z+162)*x^2-174*x-92*z-108,529]]]]

[277] taji_alc.solve_ode_cp(x^2-4,z,0);
[[[x+2,1/2],[x-2,1/2]],[[x+2,-1/4],[x-2,1/4]]]
[278] taji_alc.solve_ode_cp(x^2-4,z,0|data=[1,-1]);
[[x+2,3/4],[x-2,1/4]]
[279] taji_alc.solve_ode_cp(x^2-4,z,0|data=[c0,c1]);
[[x+2,1/2*c0-1/4*c1],[x-2,1/2*c0+1/4*c1]]
参照

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1.2.8 taji_alc.solve_ode_cp_ps

taji_alc.solve_ode_cp_ps(poly,var,exppoly)

:: 有理数係数の線形常微分方程式のコーシー問題

の特殊解を求める.

ただし, 非斉次形のみを対象としているので, とする.

return

指数多項式リスト

poly

多項式 (Pの特性多項式)

または (Pの特性多項式をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト

var

不定元 (関数の独立変数)

exppoly

f(z)の指数多項式リスト

switch

オプション指定

case 0 : 指数多項式リストの2番目の成分を有理数係数多項式で返す.

case 1 : 指数多項式リストの2番目の成分を整数係数化リストで返す.

default : case 0

switch2

オプション指定

case 0 : コーシー問題の特殊解を返す.

case 1 : 簡単な形の特殊解を返す.

default : case 0

[345] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x-1,1]]);
[[x+3,1/20],[x-1,-1/4],[x-2,1/5]]
[346] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x-1,1]]|switch2=1);
[[x-1,-1/4]]
[347] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x-2,1]]);
[[x+3,1/25],[x-2,1/5*z-1/25]]
[348] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x-2,1]]|switch2=1);
[[x-2,1/5*z-1/25]]
[349] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x+1,1],[x-2,1]]|switch2
=1);
[[x+1,-1/6],[x-2,1/5*z+2/75]]

[350] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x^3-x-1)*(x-3)^2,z,[[x-3,2],[x-1,3*z^2
+1]]);
[[x-1,[-6*z^2-36*z-119,8]],[x^3-x-1,[42291*x^2+55504*x+32313,12167]],[
x-3,[4232*z^2-4278*z-4295,97336]]]
参照

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1.2.9 taji_alc.fbt

taji_alc.fbt(num,den,var)

:: 有理関数num/denが定める代数的局所コホモロジー類のフーリエ・ボレル変換を行う.

return

[指数多項式リスト,...] なるリスト

num

(有理関数の分子の) 多項式

den

(有理関数の分母の) 多項式

または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト

var

不定元 (像の独立変数)

switch

オプション指定

case 0 : 指数多項式リストの2番目の成分を有理数係数多項式で返す.

case 1 : 指数多項式リストの2番目の成分を整数係数化リストで返す.

default : case 0

[235] taji_alc.fbt(1,(x^3-x-1)^3,z);
[[x^3-x-1,(9/529*z^2-81/529*z-4905/12167)*x^2+(-27/1058*z^2-9/529*z+45
63/12167)*x+11/1058*z^2+135/529*z+3270/12167]]
参照

taji_alc.invfbt

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1.2.10 taji_alc.invfbt

taji_alc.invfbt(exppoly,var)

:: 指数多項式の逆フーリエ・ボレル変換を行う.

return

有理関数

exppoly

指数多項式リスト

var

不定元 (指数多項式の独立変数)

switch

オプション指定

case 0 : 有理関数で返す.

case 1 : 有理関数を[分子,分母をQ上で既約分解したリスト]なるリストで返す.

default : case 0

[8] taji_alc.invfbt([[x^3-x-1,2*x^2*z^2+x*z+1],[x^2+1,z*x+z^2]],z|swit
ch=1);
[3*x^14+14*x^12+39*x^11+33*x^10+179*x^9+206*x^8+350*x^7+223*x^6+126*x^
5+176*x^4+107*x^3+101*x^2+15*x-4,[[x^2+1,3],[x^3-x-1,3]]]

[9] taji_alc.fbt(3*x^14+14*x^12+39*x^11+33*x^10+179*x^9+206*x^8+350*x^
7+223*x^6+126*x^5+176*x^4+107*x^3+101*x^2+15*x-4,[[x^2+1,3],[x^3-x-1,3
]],z);
[[x^3-x-1,2*z^2*x^2+z*x+1],[x^2+1,z*x+z^2]]
参照

taji_alc.fbt

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Index

??:   T  
?????  ?

T
taji_alc.cpfd 1.2.1 taji_alc.cpfd
taji_alc.fbt 1.2.9 taji_alc.fbt
taji_alc.invfbt 1.2.10 taji_alc.invfbt
taji_alc.invpow 1.2.5 taji_alc.invpow
taji_alc.laurent_expansion 1.2.3 taji_alc.laurent_expansion
taji_alc.rem_formula 1.2.6 taji_alc.rem_formula
taji_alc.residue 1.2.4 taji_alc.residue
taji_alc.snoether 1.2.2 taji_alc.snoether
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