Risa/Asir 代数曲線論用パッケージ説明書

利用説明書

1.0 版

2004 年 8 月

by Shuhei Todo

Copyright © Risa/Asir committers 2001. All rights reserved.


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1 関数簡易マニュアル


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1.1 概要

このパッケージには、代数曲線の諸性質を調べるための関数が 集められている。主な機能は、代数曲線に対して定義される以下 の対象を計算できることである:

その他、多項式の全次数を計算するといったような予備的な関数群 が用意されている。ユーザーの入力する代数曲線の定義多項式は必ず 有理数体上の変数x,y,z斉次多項式でなければならない。


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1.2 Notation

本書で用いられる記号について、次のような約束をしておく。


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1.3 主な関数


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1.3.1 intersect

intersect(F,G)

:: 2曲線F=0,G=0 の交点の座標からなるリストを返す.

return

リスト

F G

変数x,y,z の斉次多項式

[1] intersect(y^2-x*z,(x^2+y^2)^3-4*x^2*y^2*z^2);
[[0,0,1],[(#4),(#5),1]]
[2] defpoly(alg(4));
t#4^3+3*t#4^2+3*t#4-3
[3] defpoly(alg(5));
t#5^2-t#4
[4] intersect(x^2-y^2,x^3+y*x^2+(y^2-z^2)*x+y^3-z^2*y);
***two curve have common components***

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1.3.2 sing

sing(F)

:: 曲線F=0 の特異点の座標からなるリストを返す.

return

リスト

F

変数x,y,z の斉次多項式

[1] sing(16*x^6-24*z^2*x^4+9*z^4*x^2+4*z^2*y^4-4*z^4*y^2);
[[0,0,1],[(#4),0,1],[1/2,(#3),1],[-1/2,(#3),1],[0,1,0]]
[2] defpoly(alg(3));
2*t#3^2-1
[3] defpoly(alg(4));
4*t#4^2-3
[4] sing((x-y)*(y^2-x*z));
[[1,1,1],[0,0,1]]
[5] sing((x-y)^2*(y^2-x*z));
***Argument has multiple divisor***
参照

nbh multia


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1.3.3 nbh

nbh(F)

:: 曲線F=0 のneighborhood graph を返す。

return

リスト

F

変数x,y,z の斉次多項式

参照

sing


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1.3.4 genus

genus(F)

:: 曲線F=0 の特異点の座標からなるリストを返す.

return

0以上の整数

F

変数x,y,z の斉次多項式

[1] genus(x^6+3*y^2*x^4+(3*y^4-4*z^2*y^2)*x^2+y^6);
0
[2] genus(y^2*z-x^3-z^3);
1
[3] genus(x^2+y^2+z^2-x*y-y*z-z*x);
-1
[4] fctr(x^2+y^2+z^2-x*y-y*z-z*x);
[[1,1],[x^2+(-y-z)*x+y^2-z*y+z^2,1]]
[5] irr_conic(x^2+y^2+z^2-x*y-y*z-z*x);
reducible
参照

irr_conic


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1.3.5 adjoint1,adjoint2

adjoint1(F)
adjoint2(F)

:: それぞれ曲線F=0のn-1次,n-2次の随伴曲線(adjoint curve)を返す(n=deg(F))。

return

線形のパラメーターを含む変数x,y,z の斉次多項式

F

変数x,y,z の斉次多項式

[1] adjoint2(x^6+3*y^2*x^4+(3*y^4-4*z^2*y^2)*x^2+y^6);
[c2,c3,c4,c6,c7] 5
(c2-c4)*x^4+c3*y*x^3+(c2*y^2+c6*z*y)*x^2+(c3*y^3+c7*z*y^2)*x+c4*y^4
[2] adjoint1(F);
[c1,c7,c11,c12,c13,c15,c16,c17,c18,c19,c20] 11
(c1*y+(c11-c15+c18-c20)*z)*x^4+(c13*y^2+c7*z*y+c11*z^2)*x^3+(c17*z*y^2+c12*z^2*y
+c15*z^3)*x^2+(c13*z^2*y^2+c16*z^3*y+c18*z^4)*x+c17*z^3*y^2+c19*z^4*y+c20*z^5
参照

restriction


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1.3.6 intpt

intpt(F)

:: 二次曲線F=0 上の整数点[x,y,z] をひとつ見つけて返す。整数点が存在しなければ、文字列no integer solutionを返す。

return

リスト、あるいは文字列no integer solution.

F

変数x,y,z の二次の斉次多項式

[1] intpt(22*x^2-10*y^2+z^2+5*x*y+13*y*x-z*x);
[71,-121,473]
[2] intpt(22*x^2-10*y^2+z^2+5*x*y+12*y*x-z*x);
no integer solution

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1.3.7 parametrize

parametrize(F)

:: 有理曲線F=0 をパラメトライズする多項式の組を返す。

return

リスト

F

有理曲線の定義多項式(変数x,y,z の斉次多項式)

[1] parametrize(x^4+(2*y^2-z^2)*x^2+y^4+z^2*y^2);
[-t^3-t,t^3-t,t^4+1,(-x^2-y^2)/(z*x+z*y)]
[2] parametrize((x^2+y^2)^3-4*x^2*y^2*z^2);
heuristic2 failed...
heuristic3 succeed
[32256*t^6-133120*t^5-129024*t^4+1064960*t^3-516096*t^2
-2129920*t+2064384,-127008*t^6+1048320*t^5-2671232*t^4
+10684928*t^2-16773120*t+8128512,274625*t^6-3194100*t^5
+15678780*t^4-41555808*t^3+62715120*t^2-51105600*t+17576000,
(-126*x^4+1040*y*x^3-382*y^2*x^2+1040*y^3*x-256*y^4)
/(-65*x^4+520*y*x^3+(-65*y^2-32*z*y)*x^2+(520*y^3+256*z*y^2)*x)]
[3] parametrize(22*x^2-10*y^2+z^2+5*x*y+12*y*x-z*x);
[(220*#6-10)*t^2+(-22*#6+1),(374*#6-17)*t^2+(-22*#6-43)*t,
(220*#6+210)*t^2+(-374*#6+17)*t+22,(-y)/((22*#6-1)*x+z)]
参照

genus


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1.4 その他の関数


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1.4.1 tdeg

tdeg(Poly)

:: 多項式Polyの全次数を返す。

return

0以上の整数

Poly

多項式

[1] tdeg(u^3+v^3-x*y*z*w);
4
[956] tdeg((x^3+y^2+z)*(a^2+b+1));
5

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1.4.2 homzation

homzation(AF)

:: 変数x,yの多項式を斉次化してx,y,zの斉次多項式にする。

return

変数x,y,zの斉次多項式

F

変数x,yの多項式

[1] homzation((x^2+4*x^3+6*x^4)-4*x^4*y
+(-2*x-4*x^2-2*x^3)*y^2+y^4);
(-4*y+6*z)*x^4+(-2*y^2+4*z^2)*x^3
+(-4*z*y^2+z^3)*x^2-2*z^2*y^2*x+z*y^4
[958] homzation(u*v+1);
Input must be polynomial of variable x,y

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1.4.3 random_line

random_line(Pt,B[,Seed])

:: 点Pt(=[x,y,z])を通る直線をひとつランダムに 返す。

return

変数x,y,zの一次式

Pt

点を表すリスト

B

自然数

Seed

自然数

[1] random_line([0,0,1],1);
x-8*y

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1.4.4 multia

multia(F,Pt)

:: 曲線F=0 の点Pt(=[x,y,z])における 重複度を返す。

return

0以上の自然数

F

変数x,y,z の斉次多項式

Pt

点を表すリスト

[1] multia((4*y^2+4*z^2)*x^4+8*z^3*x^3+8*z^2*y^2*x^2-8*z^5*x+
4*z^4*y^2-4*z^6,[0,0,1]);
0
[2] multia((4*y^2+4*z^2)*x^4+8*z^3*x^3+8*z^2*y^2*x^2-8*z^5*x+
4*z^4*y^2-4*z^6,[0,1,0]);
4
[3] multia((4*y^2+4*z^2)*x^4+8*z^3*x^3+8*z^2*y^2*x^2-8*z^5*x+
4*z^4*y^2-4*z^6,[1,0,0]);
2
参照

sing nbh


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1.4.5 irr_conic

irr_conic(F)

:: 三元二次形式Fが で既約かどうかを判定する。

return

文字列

F

変数x,y,z の二次の斉次多項式

[1] irr_conic(x^2+y^2+z^2-x*y-y*z-z*x);
reducible
[2] fctr(x^2+y^2+z^2-x*y-y*z-z*x);
[[1,1],[x^2+(-y-z)*x+y^2-z*y+z^2,1]]

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1.4.6 lissajou

lissajou(M,N)

:: によって定義されるリサージュ曲線の陰関数表示

return

変数x,y,zの斉次多項式

M N

互いに素な自然数

[984] lissajou(3,4);
64*x^8-128*z^2*x^6+80*z^4*x^4-16*z^6*x^2+16*z^2*y^6
-24*z^4*y^4+9*z^6*y^2
[985] lissajou(2,7);
4096*x^14-14336*z^2*x^12+19712*z^4*x^10-13440*z^6*x^8
+4704*z^8*x^6-784*z^10*x^4+49*z^12*x^2+4*z^10*y^4-4*z^12*y^2

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1.4.7 restriction

restriction(A,List)

:: 特定の点を通る随伴曲線の定義多項式を計算したいときに用いる。

return

線形のパラメーターを含むx,y,zの斉次多項式

A

adjoint1,adjoint2から返される形と同様の、線形パラメーター つきの変数x,y,zの斉次多項式

List

[x,y,z]からなるリスト

参照

@ref{adjoint1,adjoint2}


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Index

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Index Entry  Section

A
adjoint1 1.3.5 adjoint1,adjoint2
adjoint2 1.3.5 adjoint1,adjoint2

G
genus 1.3.4 genus

H
homzation 1.4.2 homzation

I
intersect 1.3.1 intersect
intpt 1.3.6 intpt
irr_conic 1.4.5 irr_conic

L
lissajou 1.4.6 lissajou

M
multia 1.4.4 multia

N
nbh 1.3.3 nbh

P
parametrize 1.3.7 parametrize

R
random_line 1.4.3 random_line
restriction 1.4.7 restriction

S
sing 1.3.2 sing

T
tdeg 1.4.1 tdeg

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