実験的仕様の関数説明書について
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この説明書では Asir に導入された実験的仕様の関数について説明する. 正式な関数として導入されたものの記述は Risa/Asir マニュアルに移動される. ChangeLog の項目は www.openxm.org の cvsweb でソースコードを読む時の助けになる情報が書かれている.

実験的仕様の関数
********

クオート
====

quotetotex, quotetotex_env
--------------------------

quotetotex(Q)
     :: Q を latex 形式で表現した文字列に変換する.

quotetotex_env(KEY,VALUE)
     :: quotetotex の動作を制御するパラメータを変更する.

quotetotex_env()
     :: quotetotex の動作を制御するパラメータの現在値を戻す.

quotetotex_env(0)
     :: quotetotex の動作を制御するパラメータをデフォールト値に戻す.

return
     文字列(quotetotex) または リストまたはオブジェクト(quotetotex_env)

q
     quote

key
     文字列

value
     オブジェクト

  * quotetotex は Q を latex 形式で表現した文字列に変換する.

  * 以下 quotetotex_env のパラメータの意味を説明する.

  * conv_rule: 3 ビットを用いて変換ルールを指定する. 0ビット目は symbol_table による変換を行うか, 1ビット目は添字変換を行うか, 2ビット目は d から始まる変数名を微分作用素とみなして処理するか, を意味する. たとえば conv_rule として 3 を指定すると, 0ビット目, 1 ビット目が 1 となるので symbol_table による変換を行い, 添字変換をおこなう. 添字変換は数字と英字の境目および _ 記号を区切りとする. symbol_table による変換が最初に適用される. alpha, beta, 等は自動的をギリシャ文字に変換するテーブルは内蔵ずみ.

  * dp_vars_prefix: 分散表現多項式は x0, x1, ... の多項式として latex 形式に変換されるがこの x の部分を変更する.

  * dp_vars_origin: インデックスの始まりの値を指定する. デフォールトは 0.

  * dp_vars_hweyl: 分散表現多項式をワイル代数の元とみなして latex 形式に変換する. 偶数個変数があるときは 最初の半分を x0, x1, ... に後半の半分を dx0, dx1, ... に変換する. 奇数個の場合は最後の変数が同時化変数として h で表示される.

  * dp_dvars_prefix: dp_vars_hweyl が 1 の時に後半部分の prefix を指定する. デフォールトは $\partial$ tex

  * dp_dvars_origin: dp_vars_hweyl が 1 の時のインデックスの始まりの値.

  * conv_func: ユーザ定義の変換関数をよぶ.

     [3] quotetotex(quote(1/(x+1)));
     \frac{ 1} { (  {x}+ 1)}
     [4]  quotetotex(objtoquote(diff(x^x,x)));
        {x}^{  {x}- 1}   {x}+  \log( {x})   {x}^{ {x}}
     [5] quotetotex_env("conv_rule",3);
     [6] quotetotex(objtoquote( (alpha2beta+x_i_j)^2));
       {\alpha}_{2,\beta}^{ 2} +   2  {x}_{i,j}  {\alpha}_{2,\beta}+  {x}_{i,j}^{ 2}

参照
     objtoquote print_tex_form(contrib)

ChangeLog

  * この関数は 2004年2月末から3月にかけて asir を knoppix 版 texmacs に対応させるために書かれた. Asir-contrib の print_tex_form がその原型であり, それを効率化しまた出力形式を改善した. OpenXM/src/kxx/ox_texmacs.c, OpenXM/src/texmacs も参照.

  * OpenXM/src/asir-contrib/packages/src/noro_print.rr 1.1--1.8, noro_print_default.rr 1.1--1.3 も参照.

  * 変更を受けたファイルは OpenXM_contrib2/asir2000 の下の次のファイル. builtin/strobj.c 1.14--1.43, include/ca.h 1.46, io/cexpr.c 1.18, io/pexpr.c 1.32, io.sexpr.c 1.29, parse/arith.c 1.12, parse/parse.h 1.28--1.29, parse/quote.c 1.7--1.8, 1.12.

  * knoppix/math は 福岡大学の濱田さんが中心となり開発されている.

  * dp_dvars_prefix, *_origin は builtin/strobj.c 1.46 で導入された.

  * Todo: quotetoterminalform (分散表現多項式の見易い出力).

objtoquote
----------

objtoquote(OB)
     :: オブジェクトと quote 型のデータに変換する.

return
     quote

ob
     オブジェクト

  * objtoquote(ob) は, OB を quote 型のデータに変換する.

     [1150] quotetolist(quote(1+2));
     [b_op,+,[internal,1],[internal,2]]
     [1151] quotetolist(objtoquote(1+x));
     [b_op,+,[internal,x],[internal,1]]3

参照
     quotetotex quotetolist

ChangeLog

  * この関数は quotetotex の前処理をするために書かれた.

  * asir-contrib の関数 quote_to_quote も参照.

  * OpenXM_contrib2/asir2000/builtin/print.c 1.16.

flatten_quote
-------------

flatten_quote(Q,OP)
     :: quote の括弧をとりさる.

return
     Quote

q
     Quote

op
     演算子を表す文字列.

  * Quote 型のデータは木構造をしている ( quotetolist 参照 ). quote_flatten() は, Q の中にあられる演算子 OP の子供ノードを平等にする. つまり演算子 OP に関する括弧づけがあった場合それをすべてとりさる. たとえば (1+2)+(3+4) という表現を 1+2+3+4 に変換する.

  * 現在の実装では n-ary の演算子は定義されていないので, 1+2+3 は実は 1+(2+3) と表現されている. つまり + 演算子は右結合的である.

  * R=0; for (I=0; I<N; I++) R = R+ P[I]; なる足し算を繰り返すと, + は左結合的になる. 右結合的に変換するには flatten_quote を呼ぶ.

  * 名前は quote_flatten でなく flatten_quote である.

     [1288] flatten_quote(quote((1+2)+(3+4*(x+3))),"+");
     quote(1+2+3+4*(x+3))
     [1289] flatten_quote(quote( (x*y)*(p*3)-(x*y)*z),"*");
     quote(x*y*p*3-x*y*z)
     [1290] quotetolist(quote(1+2+3));
     [b_op,+,[b_op,+,[internal,1],[internal,2]],[internal,3]]

参照
     quotetolist, print_tex_form(contrib)

ChangeLog

  * この関数は 2004-7-7 から 2004-7-8 にかけて quote に関する操作を研究するために実験的に書かれた. OpenXM/fb で蓄積された公式の不要な括弧をとりはずし, tex 形式に変換するのに応用.

  * 変更をうけたソースコードは builtin/strobj.c 1.47, parse/eval.c 1.35, parse/parse.h 1.31, parse/quote.c 1.14--1.16.

quote_to_funargs, funargs_to_quote, remove_paren, get_function_name
-------------------------------------------------------------------

quote_to_funargs(Q)
     ::  quote を funarg 形式(リスト) へ.

funargs_to_quote(F)
     ::  funarg 形式を quote へ.

get_function_name(F)
     ::  funarg 形式の op を文字列へ.

remove_paren(Q)
     ::  上の関数を用いて書かれた余分な括弧を取り去る simplifier (asir-contrib マニュアルへ: todo)

return
     quote(funargs_to_quote, remove_paren) か リスト(quote_to_funargs)

q
     quote

f
     リスト

  * quote_to_funargs は quote 型のデータ (内部的には FNODE) を quote への復元可能な形でリストへ変換する. quotetolist は quote をリストへ変換するが, 一部の情報を捨てるためもとの quote の復元はできない.

  * quote_to_funargs の戻り値は [fid, op, arg1, arg2, ...] なる形式をしている. ここで op は node の名前であり, 関数 get_function_name を用いて人間が読める形式で取りだせる. たとえば get_function_name(quote_to_funargs(quote(1+2))[1]) は "+" を戻す.

  * 名前get_function_name はそのうち変更されるだろう.

  * 下の例で quote_to_funargs(FA[2]); [34,[b_op,+,[internal,x],[internal,1]]] となる. 34 は I_PAREN を意味する. 数と意味の対応表は OpenXM/src/asir-contrib/packages/src/noro_simplify.rr または OpenXM_contrib2/asir2000/parse/parse.h を見よ. 以下の fid が 0, 1, 2, ... に対応づけられている. I_BOP, I_COP, I_AND, I_OR, I_NOT, I_CE, I_PRESELF, I_POSTSELF, I_FUNC, I_FUNC_OPT, I_IFUNC, I_MAP, I_RECMAP, I_PFDERIV, I_ANS, I_PVAR, I_ASSPVAR, I_FORMULA, I_LIST, I_STR, I_NEWCOMP, I_CAR, I_CDR, I_CAST, I_INDEX, I_EV, I_TIMER, I_GF2NGEN, I_GFPNGEN, I_GFSNGEN, I_LOP, I_OPT, I_GETOPT, I_POINT, I_PAREN, I_MINUS, I_NARYOP

次の例では (x+1)+(x+2) の括弧をはずして x+1+x+2 に変換している.

     [0] ctrl("print_quote",1) $

     [1] Q=quote((x+1)+(x+2));
     [b_op,+,[u_op,(),[b_op,+,[internal,x],[internal,1]]],
             [u_op,(),[b_op,+,[internal,x],[internal,2]]]]

     [2] FA=quote_to_funargs(Q);
     [0,<...quoted...>,
       [u_op,(),[b_op,+,[internal,x],[internal,1]]],
       [u_op,(),[b_op,+,[internal,x],[internal,2]]]]

     [3] FA2=quote_to_funargs(FA[2])[1];
     [b_op,+,[internal,x],[internal,1]]

     [4] FA3=quote_to_funargs(FA[3])[1];
     [b_op,+,[internal,x],[internal,2]]

     [5] funargs_to_quote([FA[0],FA[1],FA2,FA3]);
     [b_op,+,[b_op,+,[internal,x],[internal,1]],
             [b_op,+,[internal,x],[internal,2]]]

次の例は OpenXM/asir-contrib 版の asir で実行.

     [1287] load("noro_simplify.rr");
     1
     [1293] noro_simplify.remove_paren(quote( f(1-(x))));
     quote(f(1-x))

funargs_to_quote を用いて既存の quote の子供を置き換えて新しい quote をつくり出せる.

     [1184] R=quote_to_funargs(quote(a+(b+c)));
     [0,<...quoted...>,<...quoted...>,<...quoted...>]
     [1185] T=quote_to_funargs(quote(1+2));
     [0,<...quoted...>,<...quoted...>,<...quoted...>]
     [1186] funargs_to_quote([0,R[1],R[2],T[2]]);
     quote(a+1)

参照
     quotetolist

ChangeLog

  * これらの関数は 2004-7-8 から開発のはじまっている quote の simplification 関連の実験的関数である. 変更をうけたソースコードは多岐にわたるのでまだ書かない.

  * 括弧を取り去る問題は OpenXM/fb が蓄えている公式を tex で綺麗に表示するのが動機の一つ.

  * 2004-6-26 の計算代数セミナーにおいて, 中川さんが simplifier についていろいろ問題提起をした (計算代数セミナービデオ参照).

  * parse/quote.c の strcut fid_spec fid_spec_tab[] の部分に書いてある形式に funargs_to_quote は変換する.

eval_quote
----------

eval_quote(Q);
     :: quote 型データ Q を asir のオブジェクトに変換する.

return
     オブジェクト

Q
     quote型

  * quote 型データ Q を asir のオブジェクトに変換する.

  * 逆関数は objtoquote

     ctrl("print_quote",2);
     A=quote((x-1)^2+(x-1)+3);
          出力: ((((x)-(1))^(2))+((x)-(1)))+(3)
     eval_quote(A);
          出力: x^2-x+3
     print_input_form(A);     /* asir-contrib */
          出力: quote((x-1)^2+(x-1)+3)

参照
     objtoquote, quotetolist, eval_string, quote_to_funargs, funargs_to_quote

ChangeLog

  * -----まだ書いてない.

nqt_match
---------

nqt_match(EXPR,PATTERN[,MODE])
     :: EXPR が PATTERN にマッチ(適合)すると 1 を戻す. しないと 0 を戻す.

return
     整数

Expr
     quote型

Pattern
     quote型

Mode
     整数

  * EXPR が PATTERN にマッチ(適合)すると 1 を戻す. しないと 0 を戻す.

  * 適合した場合, 副作用として, PATTERN に含まれるプログラム変数(大文字ではじまる変数)に適合した値が代入される.

  * nqt は normalized quote の略であり fnode標準形に変換してから適合検査をする.  fnode標準形については qt_normalize を見よ.

  * MODE により展開方法を指定し, その展開方法により得られた EXPR の fnode標準形と PATTERN を比較する.

     ctrl("print_quote",2);
     A=quote((x-y)*(x+y));
     nqt_match(A,quote(P*Q));
     [P,Q]
         出力:  [x-y, x+y]
     nqt_match(A,quote(P*Q),1);
         マッチしない.
     nqt_match(A,quote(P*Q),2);
         マッチしない.
     qt_normalize(A,1);
         出力:  ((x)^(2))+((x)*(y))+((-1)*((y)^(2)))+((-1)*(y)*(x))
     qt_normalize(A,2);
         出力:  ((x)*(x))+((x)*(y))+((-1)*(y)*(x))+((-1)*(y)*(y))

参照
     nqt_match_rewrite, qt_rewrite

ChangeLog

  * ----- まだ書いてない.

nqt_match_rewrite
-----------------

nqt_match_rewrite(EXPR,RULE,MODE)
     :: EXPR を RULE に従い書き換える.

return
     quote型

Expr
     quote型

Rule
     [PATTERN,ACTION] かまたは [PATTERN,CONDITION,ACTION]. これらの要素はすべて quote型.

Mode
     整数

  * EXPR を RULE に従い書き換える. PATTERN に適合しない場合は EXPRT 自体を戻す.

  * nqt は normalized quote の略であり fnode標準形に変換してから適合検査をする.  fnode標準形については qt_normalize を見よ.

     ctrl("print_quote",2);
     nqt_match_rewrite(`x*y*z,[`X*Y,`X+Y],1);
        出力: (x)+((y)*(z))
     A=`x*x;
     nqt_match_rewrite(A,[`X*Y,`X+Y],1);
        出力: x^2   (マッチしていない)
     nqt_match_rewrite(A,[`X*Y,`X+Y],2);
        出力: 2*x

     適合についてのモードの違いを理解するために次の例および fnode標準形(qt_normalize) を参照.
     quotetolist(qt_normalize(`x*x,0));
         出力:  [b_op,^,[internal,x],[internal,2]]
     quotetolist(qt_normalize(`x*x,1));
         出力:  [b_op,^,[internal,x],[internal,2]]
     quotetolist(qt_normalize(`x*x,2));
         出力:  [n_op,*,[internal,x],[internal,x]]

参照
     nqt_match, qt_rewrite, qt_normalize

ChangeLog

  * -----まだ書いてない.

qt_normalize
------------

qt_normalize(EXPR[,MODE])
     :: EXPR を fnode標準形に変換する. MODEにより標準形への展開アルゴリズムを指定できる.

return
     quote型

Expr
     quote型

Mode
     整数

fnodeは quote型の実体である. fnode は木であり, 型 id および子供からなる. 型および子供を取り出す関数が funargs_to_quote である. また fnode をリストに変換する関数が quotetolist である.

fnode の標準形はパターンマッチング, 書き換えを容易におこなうために導入された. fnode の標準形を fn と書くとき, 標準形の BNF風表現での定義は以下のとおり.

      fn           = formula | functor(nf [,...]) | sum_of_monom
          fnode の標準形.  functor は関数よびだしみたいなもの.
      sum_of_monom = monom [+ ...]
          モノミアルの和
      monom        = [formula *] nfpow [* ...]
          モノミアル
      nfpow        = nf | nf^(nf)
          冪乗部分の標準形
      formula      = Risa object

  * EXPR を fnode標準形に変換する. MODEにより標準形への展開アルゴリズムを指定できる.

  * 展開は再帰的である.

  * 入力が fnode に変換された初期状態では + や * は子供が2人の binary operator (b_op) であるが, qt_normalize を作用させることにより, + や * は任意人数の子供を持てる n-ary operator に変換される.

  * n-ary operator を基礎とした fnode標準形を用いることにより, パターンマッチ用のパターンの数を減らせることが経験的にわかっている.

  * MODE=0. 展開しない. これが既定の動作.

  * MODE=1. 展開する. ただし x*x 等を x^2 等に変換

  * MODE=2. 展開する. ただし x*x 等を x^2 等に変換しない.

MODE の違いについては以下の例も参考に.

     ctrl("print_quote",2);
     A=quote((x-y)*(x+y));
        出力:  ((x)-(y))*((x)+(y))
     B=qt_normalize(A,0);
        出力: ((x)+((-1)*(y)))*((x)+(y))  Mode=0. 展開はされない. +, * は n_op (nary-op) へ.
     quotetolist(B);
        出力: [n_op,*,[n_op,+,[internal,x],[n_op,*,[internal,-1],[internal,y]]],[n_op,+,[internal,x],[internal,y]]]

     B=qt_normalize(A,1);
        出力: ((x)^(2))+((x)*(y))+((-1)*((y)^(2)))+((-1)*(y)*(x))
                Mode=1. 展開する. +, * は n_op (nary-op) へ. 巾をまとめる.
     quotetolist(B);
        出力: [n_op,+,[b_op,^,[internal,x],[internal,2]],[n_op,*,[internal,x],[internal,y]],[n_op,*,[internal,-1],[b_op,^,[internal,y],[internal,2]]],[n_op,*,[internal,-1],[internal,y],[internal,x]]]

     qt_normalize(A,2);
        出力: ((x)*(x))+((x)*(y))+((-1)*(y)*(x))+((-1)*(y)*(y))
                Mode=2. 展開する. +, * は n_op (nary-op) へ. 巾は使わない.
     quotetolist(B);
        出力: [n_op,+,[b_op,^,[internal,x],[internal,2]],[n_op,*,[internal,x],[internal,y]],[n_op,*,[internal,-1],[b_op,^,[internal,y],[internal,2]]],[n_op,*,[internal,-1],[internal,y],[internal,x]]]

     qt_normalize(`x^2,2);
        出力: (x)*(x)
            Mode=2. 巾は使わない. n-ary の * へ.

参照
     nqt_match, nqt_match_rewrite, quotetolist, quote_to_funargs

ChangeLog

  * -----まだ書いてない.

qt_set_coef
-----------

qt_set_coef(PARAMLIST)
     :: 以下 PARAMLIST に現れる多項式変数を変数とする有理関数体を係数とする非可換多項式を扱う.

return
     リスト

ParamList
     リスト

  * 以下 PARAMLIST に現れる多項式変数を変数とする有理関数体を係数とする非可換多項式を扱う.

  * この宣言をしないと係数体を数とする非可換多項式として計算する.

  * qt_normalize およびその機能を用いる関数がこの機能の影響を受ける.

  * qt_comp 関数がこの機能の影響を受ける.

     ctrl("print_quote",2);
     qt_set_coef([a]);
     B=qt_normalize(quote((a*x+a)^2),2);
          出力: ((a^2)*(x)*(x))+((2*a^2)*(x))+(a^2)
     qt_normalize(B+B,2);
          出力: ((2*a^2)*(x)*(x))+((4*a^2)*(x))+(2*a^2)

参照
     qt_normalize

ChangeLog

  * -----まだ書いてない.

qt_set_ord
----------

qt_set_ord(VARLIST)
     :: VARLIST を変数順序とする.

return
     リスト

VarList
     リスト

  * VARLIST を辞書式に用いた変数順序を以下使用する.

  * この宣言をしないとある不定元についての既定の辞書式順序-----まだ書いてない---を用いて項を比較する. VARLIST に現れない変数についてはこの順序が適用される.

  * qt_normalize およびその機能を用いる関数がこの機能の影響を受ける.

  * qt_comp 関数がこの機能の影響を受ける.

     ctrl("print_quote",2);
     qt_normalize(quote(x+y),2);
          出力: (x)+(y)
     qt_set_ord([y,x]);
          出力: [y,x,z,u,v,w,p,q,r,s,t,a,b,c,d,e,f,g, 以下省略 ]
     qt_normalize(quote(x+y),2);
          出力: (y)+(x)

参照
     qt_normalize, nqt_comp

ChangeLog

  * -----まだ書いてない.

qt_set_weight
-------------

qt_set_weight(WEIGHTVECTOR)
     :: 変数について weight ベクトルを設定する.

return
     リスト

WeightVector
     リスト

fnode f の weight w(f) は次の式で計算する.

      f が葉の場合は原則 0. qt_weight_vector で weight が与えられている不定元に
      ついてはその値.

      f がnodeの場合は次の規則で再帰的にきめる.
        w(f+g) = max(w(f),w(g))
        w(f g) = w(f) + w(g)
        w(f^n) = n w(f)
        関数については? -----まだ書いてない.

  * WEIGHTVECTOR でまず順序の比較をして, それから qt_set_order による順序, 最後に既定の順序で比較する. WEIGHTVECTOR に現れない変数についての weight は 0 となる.

  * qt_normalize およびその機能を用いる関数がこの機能の影響を受ける. qt_normalize での展開では, この順序を用いて項がソートされる.

  * qt_comp およびその機能を用いる関数がこの機能の影響を受ける.

  * weight ベクトルによる順序比較についてはグレブナ基底の節dp_gr_mainも参照.

     ctrl("print_quote",2);
     qt_set_weight([[x,-1],[y,-1]]);
          結果: [[x,-1],[y,-1]]
     qt_normalize(quote( 1+(x+y)+(x+y)^2),1);
          結果: (1)+(y)+(x)+((y)^(2))+((y)*(x))+((x)^(2))+((x)*(y))

参照
     qt_normalize, qt_set_ord, qt_set_weight, dp_gr_main

ChangeLog

  * -----まだ書いてない.

nqt_comp
--------

nqt_cmp(EXPR1,EXPRT2)
     :: EXPR1 と EXPR2 の順序を比較する.

return
     整数

Expr1, Expr2
     quote型

  * EXPR1 と EXPR2 の順序を比較する.

  * EXPR1 > EXPRT2 なら 1.

  * EXPR1 < EXPRT2 なら -1.

  * EXPR1 = EXPRT2 (おなじ順序) なら 0.

     ctrl("print_quote",2);
     qt_set_ord([y,x]); qt_set_weight([[x,-1],[y,-1]]);
     [nqt_comp(`x,`y), nqt_comp(`y,`x), nqt_comp(`x,`x)];
          出力: [-1,1,0]

参照
     qt_normalize, qt_set_ord, qt_set_weight

ChangeLog

  * まだ書いてない.

qt_is_var, qt_is_coef
---------------------

qt_is_var(EXPR)
     :: EXPR が不定元に対応する quote なら 1 を戻す.

qt_is_coef(EXPR)
     :: EXPR が係数の有理関数体に属するとき 1 を戻す.

return
     整数

Expr
     quote型

  * EXPR が不定元に対応する quote なら 1 を戻す. そうでないとき 0 を戻す.

     [qt_is_var(quote(x)), qt_is_var(quote(3/2))];
          出力: [1,0]

参照
     qt_rewrite, nqt_match_rewrite

ChangeLog

  * -----まだ書いてない.

qt_rewrite
----------

qt_rewrite(EXPR,RULES,MODE)
     :: EXPR を規則集合 RULES を用いて書き換える.

return
     quote型

Expr
     quote型

Rules
     リスト

Mode
     整数

  * ユーザ言語を用いて定義された関数. import("noro_rewrite.rr")  しておくこと. (noro_rewrite.rr が OpenXM/lib/asir-contrib に存在しない場合ソースの OpenXM/src/asir-contrib/testing/noro/new_rewrite.rr をコピー)

  * EXPR を規則集合 RULES を用いて書き換える.

  * 規則の適用は fnode木に対して再帰的である. 一方 nqt_match_rewrite ではトップレベルのみに規則が適用される.

  * 規則集合 RULES の各要素の書き方は nqt_match() の PATTERN と同じ書き方. つまり [パターン, 書き換え結果] または [パターン, 条件, 書き換え結果].

  * MODE の意味は qt_normalize の MODE と同様. パターンマッチ, 書き換えは MODE で qt_normalize() されてから遂行される.

注意: 数学的には X*Y=Y*X が可換性を与える規則だが, これをそのまま規則として与えると書き換えが停止しない. 次の例では, 上の例のように順序比較し, たとえば, 順序が大きくなる場合のみに書き換えるべきである.

     import("noro_rewrite.rr");
     R=[[`X*Y,`nqt_comp(Y*X,X*Y)>0, `Y*X]];
     qt_rewrite(`(x-y)^2,R,2);
          出力: quote(x*x+-2*x*y+y*y)

外積代数の計算 (asir-contrib をロードした状態).

     import("noro_rewrite.rr");
     Rext0=[quote(X*Y),quote(qt_is_var(X) && qt_is_var(Y) && nqt_comp(Y,X)>0),
                       quote(-Y*X)];
     Rext1=[quote(X^N),quote(eval_quote(N)>=2),quote(0)];
     Rext2=[quote(X*X),quote(0)];
     Rext=[Rext0,Rext1,Rext2];
     qt_rewrite(quote( (x+2*y)*(x+4*y) ), Rext,1);
          出力: 2*x*y

     qt_set_coef([a,b,c,d]);
     qt_rewrite(quote((a*x+b*y)*(c*x+d*y)), Rext,1);
          出力: (d*a-c*b)*x*y

微分の計算 (asir-contrib をロードした状態).

     import("noro_rewrite.rr");
     qt_set_coef([a,b]);
     Rd1=[`d(X+Y), `d(X)+d(Y)];
     Rd2=[`d(X*Y),`d(X)*Y+X*d(Y)];
     Rd3=[`d(N), `qt_is_coef(N), `0];
     Rd4=[`d(x),`1];
     Rd=[Rd1,Rd2,Rd3,Rd4];
     B=qt_rewrite( `d( (a*x+b)^3),Rd,2);
          出力: quote(3*a^3*x*x+6*b*a^2*x+3*b^2*a)
     fctr(eval_quote(B));
          出力: [[3,1],[a,1],[a*x+b,2]]

参照
     nqt_match, nqt_match_rewrite, qt_normalize

ChangeLog

  * qt 系の関数の原型は OpenXM/src/asir-contrib/testing/tr.rr である. このユーザ言語による開発が 2005年の春まで行われ, そのあと組み込み関数主体の qt 系の関数が開発された.

  * qt 系の関数についてのその他の参考文献: OpenXM/doc/Papers/2005-rims-noro.tex および OpenXM/doc/Papers/2005-rims-noro.tm (TeXmacsの記事).

  * Todo: qt 系の関数を用いたおもしろい計算を Risa/Asir ジャーナルの記事として書く.

文字列処理
=====

copyright
---------

copyright()
     :: Risa/Asir の copyright 表示を文字列として戻す.

return
     文字列

  * Risa/Asir の copyright 表示を文字列として戻す.

     [1150] copyright();
     This is Risa/Asir, Version 20040312 (Kobe Distribution).
     Copyright (C) 1994-2000, all rights reserved, FUJITSU LABORATORIES LIMITED.
     Copyright 2000-2003, Risa/Asir committers, http://www.openxm.org/.
     GC 6.2(alpha6) copyright 1988-2003, H-J. Boehm, A. J. Demers, Xerox, SGI, HP.
     PARI 2.0.17, copyright 1989-1999, C. Batut, K. Belabas, D. Bernardi,
        H. Cohen and M. Olivier.

ChangeLog

  * この関数は texmacs 用に書かれた (2004-03).

  * OpenXM_contrib2/asir2000 の下の以下のファイルをみよ. builtin/miscf.c 1.21, parse/glob.c 1.47.

string_to_tb, tb_to_string, write_to_tb
---------------------------------------

string_to_tb(S)
tb_to_string(TB)
write_to_tb(S,TB)
     :: 文字列可変長配列型(text buffer)のデータの処理

return
     文字列可変長配列型(string_to_tb), 文字列型(tb_to_string)

s
     文字列

tb
     文字列可変長配列型

  * string_to_tb(S) は, 文字列 S をはじめの要素とする文字列可変長配列型オブジェクトを生成する.

  * tb_to_string_(TB) は, 文字列可変長配列型オブジェクト TB から通常の文字列オブジェクトを生成する.

  * write_to_tb(S,TB) は, 文字列 S を文字列可変長配列型オブジェクト TB へ書き出す.

  * SS を文字列変数とするとき, SS += "文字列" で SS へ文字列を書き足していくことができるが, 無駄なメモリを大量に消費する. 代りに関数 write_to_tb を用いるべきである. 文字列可変長配列型オブジェクトは文字列の可変長の配列でありメモリ管理に優しいデータ構造である.

     [219] T=string_to_tb("");

     [220] write_to_tb("Hello",T);
     0
     [221] write_to_tb(" world!",T);
     0
     [222] tb_to_string(T);
     Hello world!

ChangeLog

  * この関数は 2004-3 に print_tex_form を効率化するために書かれた.

  * OpenXM_contrib2/asir2000 の下の以下のファイルを見よ. io/ox_asir.c 1.52, builtin/strobj.c 1.12--1.13, 1.16, engine/str.c 1.5, parse/quote.c 1.9.

  * rtostr が text buffer 型のデータに関しておそかった. 速度の改善は asir2000/io/pexpr_body.c 1.2, asir2000/parse/lex.c 1.32.

set_print_function
------------------

set_print_function([FNAME])
     :: 画面表示用の関数を登録

return
     整数

fname
     文字列

  * set_print_function は fname(F) を通常の画面表示関数の代わりによぶ.
     引数がない場合は画面表示関数をデフォールトへ戻す.
     Asir-contrib はこの関数を用いて出力関数を Asir-contrib 用に変更している.

     [219] def my_output(F) {
                print("Out: ",0); print(rtostr(F));
           }
     [220] set_print_function("my_output");
     Out: 0
     [221]  1+2;
     Out: 3

参照
     rtostr

ChangeLog

  * この関数は 2001-9-4 に asir-contrib のために導入された. 変更をうけたソースコードは builtin/print.c 1.11 である.

printf, fprintf, sprintf
------------------------

printf(FORMAT[,ARGS])

fprintf(FD,FORMAT[,ARGS])

sprintf(FORMAT[,ARGS])
     :: C に似たプリント関数

return
     整数(printf,fprintf), 文字列(sprintf)

format
     文字列

fd
     非負整数(ファイル記述子)

args
     オブジェクト

  * printf は書式文字列 FORMAT  にしたがい, オブジェクト ARGS を標準出力に書き出す.

  * fprintf は結果を, ファイル記述子 FD の指すファイルに書き出す.

  * sprintf は結果を文字列で返し, 標準出力には書き出さない.

  * 書式文字列の中で %a (any) が利用可能. ARGS の個数は書式文字列の中の %a の個数に等しくすること.

  * ファイル記述子は, open_file 関数を用いて得ること.

     [0] printf("%a: rat = %a\n",10,x^2-1)$
     10: rat = x^2-1
     [1] S=sprintf("%a: rat = %a",20,x^2-1)$
     [2] S;
     20: rat = x^2-1
     [3] Fd=open_file("hoge.txt","w");
     0
     [4] fprintf(Fd,"Poly=%a\n",(x-1)^3)$
     [5] close_file(Fd)$
     [6] quit;

     $ cat hoge.txt
     Poly=x^3-3*x^2+3*x-1

参照
     rtostr,open_file,close_file

ChangeLog

  * 関数 sprintfは 2004-7-13 にコミットされた. 変更をうけたソースコードは builtin/strobj (1.50) である.

  * 関数 printfは 2007-11-8 にコミットされた. 変更をうけたソースコードは builtin/print.c (1.23) である.

  * 関数 fprintfは 2008-11-18 にコミットされた. 変更をうけたソースコードは builtin/file.c (1.25) である.

  * %a は Maple の sprintf の真似か.

グレブナー基底
=======

dp_gr_main
----------

dp_gr_main(F | v=VV, order=OO, homo=N, matrix=M, block=B, sugarweight=SW)
     :: dp_gr_main の新しいインタフェース.

return
     リスト (グレブナ基底. 再帰表現多項式か分散表現多項式のリスト)

f
     リスト  (入力多項式系. 再帰表現多項式か分散表現多項式のリスト)

vv
     リスト  (変数のリスト)

oo
     リスト  (順序をあらわすリスト)

n
     0 か1 (homogenization をするか)

m
     順序を matrix で表現する場合 (cf. dp_ord).

b
     ???

sw
     Sugar strategy を適用するときの weight vector. 全ての要素は非負.

  * dp_gr_main(F) は, F のグレブナ基底を計算する. グレブナ基底は順序を変えるとその形が変わる.   asir ではいままで順序の指定方法が系統だっていなかった. dp_gr_main の新しいインタフェースでは順序をある文法に従い指定する.

  * 順序 order は次の文法で定義する.  {, } は 0 回以上の繰り返しを意味する.

            order         : '[' orderElement { ',' orderElement } ']'
            orderElement   :  weightVec | builtinOrder
            weightVec     : '[' weightElement { ',' weightElement } ']'
            builtiniOrder : '[' orderName  ',' setOfVariables ']'
            weightElement :   NUMBER | setOfVariables ',' NUMBER
            setOfVariables:  V | range(V,V)
            orderName    : @grlex | @glex | @lex

     ここで V は 変数名, NUMBER は整数をあわらす. 例1:  v=[x,y,z,u,v], order=[[x,10,y,5,z,1],[@grlex,range(x,v)]] は x,y,z がそれぞれ weight 10, 5, 1 をもつ順序で比較したあと, [x,y,z,u,v] についての graded reverse lexicographic order を tie-breaker として用いることを意味する. 参考書: B.Sturmfels: Gr\"obner Bases and Convex Polytopes (1995). M.Saito, B.Sturmfels, N.Takayama: Gr\"obner Deformations of Hypergeometric Differential Equations (2000).

  * 順序要素 (orderElement) の指定方法は (1) 変数名または rangeで指定された変数の集合と重みの値の繰り返し (2) 重みの値を変数リストの順番に並べる方法 (3) 変数名または rangeで指定された変数の集合と順序名の組の三通りの基礎的方法がある. 似た指定方法が Macaulay, Singular, CoCoA, Kan/sm1 等の環論システムで使用されていた. Risa/Asir の指定方法はこれらのシステムの指定方法を参考にさらに改良を加えたもので柔軟性が高い.

  * order の tie-breaker は grlex がデフォールト.

  * 分散表現多項式を引数としたときは結果も分散表現多項式として戻る. order 指定にもちいるデフォールトの変数名はこのとき x0, x1, x2, ... となる.

  * オプションの値は option_list キーワードを用いてリストで与えてもよい. 下の例を参照.

     [218] load("cyclic");
     [219] V=vars(cyclic(4));
     [c0,c1,c2,c3]
     [220]dp_gr_main(cyclic(4) | v=V, order=[[c0,10,c1,1],[c2,5],[@grlex,range(c0,c3)]]);
     [ 10 1 0 0 ]
     [ 0 0 5 0 ]
     [ R R R R ]
     [(-c3^6+c3^2)*c2^2+c3^4-1,c3^2*c2^3+c3^3*c2^2-c2-c3,
      (c3^4-1)*c1+c3^5-c3,(c2-c3)*c1+c3^4*c2^2+c3*c2-2*c3^2,-c1^2-2*c3*c1-c3^2,
      c0+c1+c2+c3]

     [1151]  F=map(dp_ptod,katsura(4), vars(katsura(4)));
     [(1)*<<1,0,0,0,0>>+(2)*<<0,1,0,0,0>>+ ... ]
     [1152] dp_gr_main(F | order=[[range(x0,x3),1]]);
     [ 1 1 1 1 0 ]
     [ R R R R R ]
     [(47774098944)*<<0,0,0,0,13>>+ ... ]

     [1153] Opt=[["v",[x,y]], ["order",[[x,5,y,1]]]];
     [[v,[x,y]],[order,[[x,5,y,1]]]]
     [1154]  dp_gr_main([x^2+y^2-1,x*y-1] | option_list=Opt);
     [ 5 1 ]
     [ R R ]
     [-y^4+y^2-1,x+y^3-y]

ChangeLog

  * この関数は 2003-12 から 2004-2 の始めに大きな修正が行われた.

  * setOfVariablesの表現のために range オブジェクトが導入された.

  * グレブナ基底は順序を変えるとその形が変わる.   asir ではいままで順序の指定方法が系統だっていなかった. dp_gr_main の新しいインタフェースでは順序をある文法に従い指定する.

  * OpenXM_contrib2/asir2000 の下の次の各ファイルが修正をうけた. builtin/gr.c 1.56--1.57, builtin/dp-supp.c 1.27--1.31 (create_composite_order_spec), builtin/dp.c 1.46--1.48 (parse_gr_option), engine/Fgfs.c 1.20, engine/dist.c 1.27--1.28 engine/nd.c 1.89, include/ca.h 1.42--1.43, io/pexpr.c 1.28, io/sexpr.c 1.26, parse/arith.c 1.11, parse/glob.c 1.44-1.45, parse/lex.c 1.29, parse/parse.h 1.23--1.26

  * Todo: return キーワードで戻り値のデータを quote のリストにできるように. attribute, ring 構造体.

dp_weyl_gr_main
---------------

dp_weyl_gr_main(F | v=VV, order=OO, homo=N, matrix=M, block=B, sugarweight=SW)
     :: dp_weyl_gr_main の新しいインタフェース.  dp_gr_main と同じ形式である.

return
     リスト (グレブナ基底. 再帰表現多項式か分散表現多項式のリスト)

f
     リスト  (入力多項式系. 再帰表現多項式か分散表現多項式のリスト)

vv
     リスト  (変数のリスト)

oo
     リスト  (順序をあらわすリスト)

n
     0 か1 (homogenization をするか). [テストまだ]

m
     順序を matrix で表現する場合 (cf. dp_ord). [テストまだ]

b
     ???

sw
     Sugar strategy を適用するときの weight vector. 全ての要素は非負. [テストまだ]

  * dp_weyl_gr_main(F) は, F のグレブナ基底を計算する. グレブナ基底は順序を変えるとその形が変わる.   asir ではいままで順序の指定方法が系統だっていなかった. dp_weyl_gr_main の新しいインタフェースでは順序をある文法に従い指定する. 指定方法については dp_gr_main のマニュアルを参照.

  * 分散表現多項式の各モノミアルの長さが偶数のときはワイル代数 K[x_1, ..., x_n, d_1, ..., d_n] で計算がおこなわれる. ワイル代数では x_i と d_i は非可換な掛け算規則 d_i x_i = x_i d_i +1 をみたし, x_i と x_j や d_i と d_j は可換である. また i と j が異なる場合は x_i と d_j も可換である.

  * 分散表現多項式の各モノミアルの長さが奇数のときは同次化ワイル代数 K[x_1, ..., x_n, d_1, ..., d_n, h] で計算がおこなわれる. 同次化ワイル代数では x_i と d_i は非可換な掛け算規則 d_i x_i = x_i d_i + h^2 をみたし, h は任意の元と可換, その他の変数もワイル代数と同様な可換性の規則をみたす. 詳しくは dp_gr_main で参照した Saito, Sturmfels, Takayama の教科書をみよ.

     [1220] F=sm1.gkz([ [[1,1,1,1],[0,1,3,4]], [0,0]]);  /* Command in asir-contrib*/
     [[x4*dx4+x3*dx3+x2*dx2+x1*dx1,4*x4*dx4+3*x3*dx3+x2*dx2,-dx1*dx4+dx2*dx3,-dx2^2*dx4+dx1*dx3^2,dx1^2*dx3-dx2^3,-dx2*dx4^2+dx3^3],[x1,x2,x3,x4]]
     [1221] V=[x1,x2,x3,x4,dx1,dx2,dx3,dx4]$
     [1222] dp_weyl_gr_main(F[0] | v=V, order=[[dx1,1,dx2,1,dx3,1,dx4,1]]);
     ...
     [1238] FF=map(dp_ptod,F[0],V);
     [(1)*<<1,0,0,0,1,0,0,0>>+(1)*<<0,1,0,0,0,1,0,0>>+(1)*<<0,0,1,0,0,0,1,0>>+(1)*<<0,0,0,1,0,0,0,1>>,(1)*<<0,1,0,0,0,1,0,0>>+(3)*<<0,0,1,0,0,0,1,0>>+(4)*<<0,0,0,1,0,0,0,1>>,0,0,0,0]

     [1244] FF=map(dp_ptod,F[0],V);
     [(1)*<<1,0,0,0,1,0,0,0>>+(1)*<<0,1,0,0,0,1,0,0>>+(1)*<<0,0,1,0,0,0,1,0>>+(1)*<<0,0,0,1,0,0,0,1>>,(1)*<<0,1,0,0,0,1,0,0>>+(3)*<<0,0,1,0,0,0,1,0>>+(4)*<<0,0,0,1,0,0,0,1>>,(1)*<<0,0,0,0,0,1,1,0>>+(-1)*<<0,0,0,0,1,0,0,1>>,(1)*<<0,0,0,0,1,0,2,0>>+(-1)*<<0,0,0,0,0,2,0,1>>,(-1)*<<0,0,0,0,0,3,0,0>>+(1)*<<0,0,0,0,2,0,1,0>>,(1)*<<0,0,0,0,0,0,3,0>>+(-1)*<<0,0,0,0,0,1,0,2>>]

     dp_weyl_gr_main(FF | v=V, order=[[0,0,0,0,1,1,1,1]]);

     [1246] dp_weyl_gr_main(FF | v=V, order=[[dx1,1,dx2,1,dx3,1,dx4,1]]);
     [ 0 0 0 0 1 1 1 1 ]
     [ R R R R R R R R ]
      ...

参照
     dp_gr_main

ChangeLog

  * dp_gr_main のインタフェースが dp_weyl_gr_main へも導入された.

  * OpenXM_contrib2/asir2000 の下の次の各ファイルが修正をうけた. builtin/dp-supp.c 1.32--1.33 builtin/dp.c 1.49--1.50

dp_initial_term
---------------

dp_initial_term(F | v=VV, order=OO)
     :: dp_initial_term は与えられた weight に対する先頭項の和を戻す.

return
     分散表現多項式または分散表現多項式のリスト.

f
     分散表現多項式か分散表現多項式のリスト.

vv
     リスト  (変数のリスト)

oo
     リスト  (順序をあらわすリスト)

  * dp_initial_term は与えられた weight w に対する先頭項の和を戻す. これは多くの教科書で $\rm in_w(f)$ tex と書かれている.

  * 順序を表すリストは dp_gr_main で定義した文法に従う. このリストの先頭が weight vector で無い場合はエラーとなる. たとえば order=[[@lex,...]] はエラーとなる.

  * 結果は与えられた順序に関してソートされてるわけではない.

     [1220] F=<<2,0,0>>+<<1,1,0>>+<<0,0,1>>;
     (1)*<<2,0,0>>+(1)*<<1,1,0>>+(1)*<<0,0,1>>
     [1220] dp_initial_term(F | order=[[1,1,1]]);
     [ 1 1 1 ]
     [ R R R ]
     (1)*<<2,0,0>>+(1)*<<1,1,0>>
     [1221] dp_initial_term(F | v=[x,y,z], order=[[x,1]]);
     [ 1 0 0 ]
     [ R R R ]
     (1)*<<2,0,0>>

参照
     dp_gr_main, dp_weyl_gr_main, dp_order, dp_hm

ChangeLog

  * OpenXM_contrib2/asir2000 の下の次の各ファイルが修正をうけた. builtin/dp-supp.c 1.32 builtin/dp.c 1.49

dp_order
--------

dp_order(F | v=VV, order=OO)
     :: dp_order は与えられた weight に対する次数の最大値を戻す.

return
     数か数のリスト

f
     分散表現多項式か分散表現多項式のリスト.

vv
     リスト  (変数のリスト)

oo
     リスト  (順序をあらわすリスト)

  * 順序を表すリストは dp_gr_main で定義した文法に従う. このリストの先頭が weight vector で無い場合はエラーとなる. たとえば order=[[@lex,...]] はエラーとなる.

  * dp_order は与えられた weight w に対する次数の最大値を戻す. これを $\rm ord_w(f)$ tex と書く論文や教科書もある.

  * 引数がリストの場合各要素の次数が計算される.

     [1220] F=<<2,0,0>>+<<1,1,0>>+<<0,0,1>>;
     (1)*<<2,0,0>>+(1)*<<1,1,0>>+(1)*<<0,0,1>>
     [1222] dp_order(F | order=[[1,1,1]]);
     [ 1 1 1 ]
     [ R R R ]
     2
     [1223] dp_order(F | v=[x,y,z], order=[[x,1]]);
     [ 1 0 0 ]
     [ R R R ]

参照
     dp_gr_main, dp_weyl_gr_main, dp_initial_term, dp_hm

ChangeLog

  * OpenXM_contrib2/asir2000 の下の次の各ファイルが修正をうけた. builtin/dp-supp.c 1.32 builtin/dp.c 1.49

nd_sba, nd_sba_f4
-----------------

nd_sba(GEN,VARS,CHAR,ORD)
nd_sba_f4(GEN,VARS,CHAR,ORD)
     :: signature based algorithm によるグレブナー基底の計算

gen
     多項式リスト

ord
     項順序型

var
     変数リスト

return
     多項式リスト

  * signature based algorithm (SBA) によるグレブナー基底計算の実験的実装である.

  * signature based algorithm とは, イデアルの各元に, その元をもとの生成系から生成する係数ベクトル (加群の元) の先頭項 (signature) を付随させ, 単項式除算を, signature が真に小さいものによる除算に限定して Buchberger algorithm 類似の手続きを実行する.

  * Buchberger algorithm における useless pair elimination criteria の代わりに, syzygy を用いた criterion や, 同一 signature の S-ペアを 1 つに絞るなどの S-ペア消去手法により, Buchberger algorithm より効率よくグレブナー基底を計算できる場合がある.

  * nd_sba は signature 付き Buchberger algorithm を実行する. 引数, オプション, dp_gr_flags() で設定されるスイッチは nd_gr と同一である.

  * nd_sba_f4 は nd_sba において, 複数のS-ペアをまとめて簡約できるような reducer を symbolic preprocessing で集め, 行列上で簡約操作を行う実装である. しかし, 通常の F4 と異なり, SBA の実行は S-ペアを選ぶ順序に鋭敏であり, どのような基準で複数のS-ペアを選ぶかについて実験中である.

     [0] load("katsura")$
     [4] F=katsura(10)$
     [5] V=[u0,u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,u8,u9,u10]$
     [6] cputime(1)$
     1.7e-05sec(1.502e-05sec)
     [7] G=nd_gr(F,V,31991,0)$
     83.04sec(83.2sec)
     [8] Gs=nd_sba(F,V,31991,0)$
     12.9sec(12.92sec)
     [9] G4=nd_f4(F,V,31991,0)$
     12.56sec(12.58sec)
     [10] G4s=nd_sba_f4(F,V,31991,0)$
     5.534sec(5.538sec)

参照
     Risa/Asir ユーザーズマニュアルの「グレブナ基底の計算」

nd_gr, nd_gr_trace (加群)
-----------------------

nd_gr(GEN,VARS,CHAR,ORD)
nd_gr_trace(GEN,VARS,HOMO,CHAR,ORD)

nd_weyl_gr(GEN,VARS,CHAR,ORD)
nd_weyl_gr_trace(GEN,VARS,HOMO,CHAR,ORD)
     :: 部分加群のグレブナー基底の計算

gen
     リストのリスト

ord
     [ISPOT,ORD] なるリスト

return
     リストのリスト

  * 多項式環あるいはワイル代数上の自由加群の部分加群のグレブナー基底を計算する. 結果はリストのリストである. 各要素リストは, 自由加群の元であるベクトルとみなす.

  * ORD として [ISPOT,ORD] という2要素リストが指定された場合, 加群のグレブナー基底計算を実行する. この場合, GEN は, 多項式のリストのリストとして与える必要がある.

  * ISPOT が 1 の場合, POT (position over term), 0 の場合 TOP (term over position) で比較する. 基礎環での項比較は ORD で行う.

  * 説明されていない引数は, イデアルの場合の解説を参照のこと.

     [0] Gen=[[x,y,z],[y^2+x,x^2,z],[y^2,z^3+x,x+z]];
     [[x,y,z],[x+y^2,x^2,z],[y^2,x+z^3,x+z]]
     [1]  nd_gr(Gen,[x,y,z],0,[0,0]);
     [[x,y,z],[y^2,x^2-y,0],[y^2,x+z^3,x+z],[y^3+z^3*y^2,y^3*x-y^3,
     -x^3-z*x^2+(z*y^2+y)*x-z*y^2+z*y],[0,0,x^4+z*x^3+(-z*y^2-y)*x^2
     +(-y^3+z*y^2-z*y)*x+z^4*y^2]]

参照
     nd_gr, nd_gr_trace

nd_gr, nd_gr_trace (option)
---------------------------

nd_gr(...[|OPT,OPT,...])
nd_gr_trace(...[|OPT,OPT,...])
nd_weyl_gr(...[|OPT,OPT,...])
nd_weyl_gr_trace(...[|OPT,OPT,...])
     :: グレブナー基底計算に関する種々のオプションの説明

opt
     KEY=VALUE なるオプション設定

return
     オプションにより異なる

  * グレブナー基底計算をオプションにより制御する.

  * 現状では次の 3 つのオプションを受け付ける.

     gentrace
          VALUE が 0 でないとき, グレブナー基底の計算経過情報を出力する.

     gensyz
          VALUE が 0 でないとき, 計算されたグレブナー基底に対する syzygy の生成系を出力する.

     nora
          VALUE が 0 でないとき, 最終ステップで相互簡約を行わない.

  * GENTRACE が指定された場合, 出力は, [GB,HOMO,TRACE,INTRED,IND,INPUTRED,SPAIRTRACE] なるリストである. 各要素の意味は次の通りである.

     GB
          グレブナー基底

     Homo
          中間基底が斉次化されている場合 1, そうでない場合 0.

     Trace
          全中間基底に対する計算経過情報

     IntRed
          相互簡約に対する計算経過情報

     Ind
          簡約グレブナー基底の各要素の, 全中間基底のにおけるインデックス

     InputRed
          各入力多項式をグレブナー基底で簡約して剰余 0 を得るまでの計算経過情報 (GENSYZ が指定された場合)

     SpairTrace
          簡約グレブナー基底に対する S 多項式を簡約して剰余 0 を得るまでの計算経過情報 (syzygy 加群の生成系の要素のみ; GENSYZ が指定された場合)

  * 詳細は, 入力多項式集合とグレブナー基底の相互変換行列, および syzygy 計算関数の項で説明する予定.

     [0] C=[c3*c2*c1*c0-1,((c2+c3)*c1+c3*c2)*c0+c3*c2*c1,...]
     [1] D=nd_gr_trace(C,[c0,c1,c2,c3,c4],0,1,0|gentrace=1,gensyz=1)$
     [2] D[0];
     [c0+c1+c2+c3,-c1^2-2*c3*c1-c3^2,...]
     [3] D[2];
     [[[0,0,1],[1,1,1],[2,2,1],[3,3,1]],[4,[[1,2,(1)*<<0,0,0,0>>,1],...]
     [4] D[6];
     [[-1,[[1,0,(1)*<<0,0,2,4>>,1],[1,6,(-1)*<<1,0,0,0>>,1],...]

参照
     nd_gr, nd_gr_trace

システム
====

asir-port.sh, asir-install.sh
-----------------------------

asir-install.sh
asir-port.sh
     :: これは asir の内部コマンドではない. asir をネットワークからダウンロードかつ実行するシェルスクリプト

  * asir-port.sh は knoppix 専用である. このコマンドは asir のバイナリおよび FLL で配布できない部分を ftp.math.kobe-u.ac.jp よりダウンロードして /home/knoppix/.asir-tmp へセーブして, 実行する. .asirrc および .TeXmacs/plugins/ox/progs/init-ox.scm もダウンロードする.

  * asir-install.sh は Debian GNU Linux / openxm-binary*.deb 専用である. asir-install.sh は asir をダウンロードして /usr/local/OpenXM/bin および /usr/local/OpenXM/lib/asir へインストールする.

ChangeLog

  * これらのシェルスクリプトは knoppix/math のために 2004/2, 3 月に書かれた.

  * knoppix/math は福岡大学の濱田さんが中心となり開発されている.

  * OpenXM/misc/packages/Linux/Debian の下の全てのファイル (2004-2-22 から 2004-3 の末まで). ( ~taka/this03/misc-2003/A3/knoppix-03-05 (プライベートファイル) も見よ.) OpenXM/src/asir-port の下の次の各ファイル. Makefile 1.1--1.8, asir-install.sh 1.1--1.2, asir-port.sh 1.1--1.6.

asirgui.hnd
-----------

asirguid.hnd
     :: asirgui の main window のハンドル番号を保持するファイル

  * asirgui (Windows 版) を起動すると 環境変数 TEMP で指定されたフォルダにこのファイルが作成される.

  * 中身は１０進整数で, asirgui の main window のハンドルである. このハンドルあてに PostMessage をすれば, asuirgui にキーボードから入力したのと同様な効果が得られる.

  * text editor で作成, 保存したファイルを text editor 側から asirgui に読み込ませたりするために利用可能.

  * http://www.math.kobe-u.ac.jp/Asir/Add-ons にて winfep.exe を配布している. winfep ではあらかじめファイルに入力スクリプトを書いておいて, asirgui で一行づつ実行させることができる. winfep はプレゼンテーション用のソフトウエアである. これは asirgui.hnd を利用している.

     // cl test.c user32.lib

     #include <windows.h>
     #include <stdlib.h>
     #include <stdio.h>
     #include <process.h>

     int main()
     {

     	HWND hnd;
     	FILE *fp = fopen("c:/Program Files/asir/bin/asirgui.hnd","r");
     	fscanf(fp,"%d",&hnd);
     	fclose(fp);
     	while (1) {
     		int c;
     		c = getchar();
     		if ( c == '#' ) break;
     		PostMessage(hnd,WM_CHAR,c,1);
     	}
     	return 0;
     }

参照
     xyz_abc

ChangeLog

  * この機能は 2006-12-5, 2007-02-13 に加えられた.

  * OpenXM_contrib2/windows/asir32gui/asir32gui.clw 1.11

  * OpenXM_contrib2/windows/asir32gui/asir32guiview.cpp  1.15, 1.1.6

  * winfep は 2010-01-20 頃に第一版が commit された.

  * OpenXM_contrib2/windows/winfep  1.1

chdir, pwd
----------

chdir(DIRECTORY)

pwd()
     :: シェルコマンド cd と pwd に対応する操作.

return
     文字列(pwd), 整数(chdir)

dirctory
     文字列

  * pwd はカレントディレクトリを文字列で返す.

  * chdir はカレントディレクトリを DIRECTORY に変更する.  成功すれば 0 を失敗すれば -1 を返す.

     [0] S=pwd();
     /home/ohara
     [1] chdir(".../taka");
     -1
     [2] chdir("/usr/bin");
     0

ChangeLog

  * これらの関数は 2008-8-27 にコミットされた. 変更をうけたソースコードは builtin/miscf.c (1.27) である.

dcurrenttime
------------

dcurrenttime()
     :: 現在時刻を取得.

return
     浮動小数点数

  * 返り値は1970年1月1日0時0分0秒からの経過秒数である.

     [0] ctrl("real_digit", 16);
     16
     [1] dcurrenttime();
     1226390851.34476
     [2] currenttime();
     1226390854

参照
     currenttime

ChangeLog

  * この関数は 2008-9-12 にコミットされた. 変更をうけたソースコードは builtin/time.c (1.6) である.

getpid
------

getpid()

return
     整数

  * asir のプロセス番号を戻す.

  * プロセス番号は asir, ox_asir 等で独立したプロセスに対してシステム内で一意である.

     [219] getpid();
     3214

ChangeLog

  * この関数は ox_work_dir() 関数が一意な作業ファイル名を得るために使われている. src/asir-contrib/packages/src/misc/rr 1.3, asir2000/builtin/file.c 1.28, rat.c 1.5, asir2000/parse/puref.c 1.9 を参照 (2013/02/15, 18).

loadpath
--------

ctrl(``loadpath''[,list])

list
     文字列(パス)のリスト

return
     文字列(パス)のリスト, または数(listが与えられたとき)

  * asir の組み込み関数 ctrl のスイッチのひとつである.

  * asir のロードパスの出力または設定を行う.

     [0] L=ctrl("loadpath");
     [/home/you/OpenXM/lib/asir-contrib,/home/you/OpenXM/lib/asir,.]
     [1] ctrl("loadpath", cons(getenv("HOME")+"/lib",L));
     0

ChangeLog

  * この関数は 2014-5-12 にコミットされた. 変更をうけたソースコードは builtin/ctrl.c (1.41) である.

sysinfo
-------

sysinfo()

return
     文字列のリスト

  * asir の動作しているオペレーティングシステムの情報を返す.

  * リストの各成分は, OSタイプ, カーネル名, OS名, CPUタイプ, OSバージョン, 完全な情報, ロケールである.

  * OSタイプは unix, macosx, windows のいずれかである.

  * unix および macosx においては, システムコールおよび uname コマンドにより情報を取得している. windows では, GetVersionEx() などの Win32 API が用いられている.

     [0] sysinfo();
     [windows,WindowsNT,Windows7,x86_64,6.1.7601,WindowsNT 6.1.7601 Windows7 Service Pack 1 x86_64,ja]

ChangeLog

  * この関数は 2014-5-14 にコミットされた. 変更をうけたソースコードは builtin/ctrl.c (1.42) である.

言語
==

get_struct_name, get_element_names, get_element_at, put_element_at
------------------------------------------------------------------

get_struct_name(S)
get_element_names(S)
get_element_at(S,KEY)
put_element_at(S,KEY,OBJ)
     :: 構造体 S に対する操作

return
     文字列 (get_struct_name), 文字列のリスト (get_element_names), オブジェクト (get_element_at), オブジェクト (put_element_at)

s
     構造体

key
     文字列

obj
     オブジェクト

  * get_struct_name(s) は, 構造体 S の名前を戻す.

  * get_element_names(s) は, 構造体のメンバーの名前のリストを戻す.

  * get_element_at(s,key) は構造体 s のメンバー key の値を戻す.

  * put_element_at(s,key,obj) は構造体 s のメンバー key の値を obj に設定する.

     [219]  struct point { x, y, color};
     [220]  P = newstruct(point);
     {0,0,0}
     [221]  P->x = 10$ P->y=5$ P->color="red"$
     [222]  get_element_names(P);
     [x,y,color]
     [223] put_element_at(P,"color","blue");
     blue
     [224] P->color;
     bule

参照
     newstruct, struct

ChangeLog

  * 構造体の定義を知らずに構造体を扱うユーザ関数を書くときに便利. asir-contrib の noro_print.rr を見よ.

  * OpenXM_contrib2/asir2000/builtin/compobj.c 1.8.

mapat
-----

mapat(FNAME,POS[,ARG0, ARG1, ...])
     :: POS に対する map 関数

return
     オブジェクト

pos
     整数

arg0, arg1, arg2, ...
     オブジェクト

  * map 関数は 0 番目の引数に対してしか動作しないが, mapat 関数は指定した番号の引数に対して map 関数を実行する.

  * mapat(fname,0,A0,A1,...) は map(fname,A0,A1,...) に等価である.

  * 次の副作用がある. まだ書いてない.

     [219] mapat(deg,1,x^2+y^3+x+y,[x,y]);
     [2,3]
     [220] mapat(subst,1,x+y+z,[x,y,z],2);
     [y+z+2,x+z+2,x+y+2]

参照
     map

ChangeLog

  * この関数は 2004-6-22 にコミットされた. 変更をうけたソースコードは builtin/pf.c, subst.c である.

list
----

list([ARG0, ARG1, ...])
     :: list を生成する.

return
     リスト

arg0, arg1, arg2, ...
     オブジェクト

  * ARG0, ARG1, ... を要素とするリストを生成する.

     [219] list(1,2,3);
     [1,2,3]
     [220] list(1,2,[3,4]);
     [1,2,[3,4]]

参照
     cons

ChangeLog

  * この関数は 2004-6-22 にコミットされた. 変更をうけたソースコードは builtin/list.c である.

assoc
-----

assoc(A,B)
     :: 連想リストをつくる

return
     List

a
     List

b
     List

  * リスト A, B より [[A[0],B[0]], [A[1],B[1]], ...] なる新しいリストを生成する.

下の例では A に動物の名前が, B に足の本数が入っている. assoc(A,B) で動物と足の本数をペアにしたリストを生成する.

     [1192]  A=["dog","cat","snake"];
     [dog,cat,snake]
     [1193] B=[4,4,0];
     [4,4,0]
     [1194] assoc(A,B);
     [[dog,4],[cat,4],[snake,0]]

参照
     cons, append

ChangeLog

  * この関数は 2004-6-28 に書かれた. 変更をうけたソースコードは builtin/list.c 1.9 parse/eval.c 1.35, parse/parse.h 1.31, parse/quote.c 1.14--1.16.

set_secure_flag, set_secure_mode
--------------------------------

set_secure_flag(FNAME,M)
set_secure_mode(M)
     :: 関数の実行権限を設定する.  (web サービス用)

return
     整数

fname
     文字列

m
     整数

  * set_secure_flag, set_secure_mode は asir を web サーバ等で公開するために加えられた関数. set_secure_flag で公開する関数を指定する. secure_mode が 1 の場合は set_secure_flag で指定された関数しか実行できない. 関数の実行途中では secure_mode が 0 となっているので, 任意の関数を実行できる. またエラーの時等は, secure_mode は 1 に自動的に復帰する. ただし def は実行できない. 公開する関数では, その処理中は任意の関数が実行できるので, security に十分注意した実装をする必要がある.

  * set_secure_flag は, FNAME の secure flag を M にする. 公開する命令は 1 に設定する.

  * SET_SECURE_MODE(1) で secure_mode が 1 となり, 公開された関数しか実行できなくなる. quit 等も実行できないので注意.

  *  timer  の引数として secure_flag を設定していない関数を指定して実行してもエラーが表示されない. このときは,  ctrl("error_in_timer",1)  を実行しておく.

     [1194] set_secure_flag("print_input_form_",1);
     1
     [1195] set_secure_flag("fctr",1);
     1
     [220] set_secure_mode(1);
     1
     [1197] fctr((x-1)^3);
     [[1,1],[x-1,3]]
     [1198] fctr(shell("ls"));
     evalf : shell not permitted
     return to toplevel

参照
     timer

ChangeLog

  * set_secure_flag, set_secure_mode は asir を web サーバ等で公開するために加えられた関数. sm1 の同様な関数 RestrictedMode で採用された方法を用いている. つまり, set_secure_flag で公開する関数を指定する. secure_mode が 1 の場合は set_secure_flag で指定された関数しか実行できない. v関数の実行途中では secure_mode が 0 となっているので, 任意の関数を実行できる.

  * この関数は 2004-10-27 から 2004-11-22 にかけて開発された.

  * cgiasir.sm1, cgi-asir.sh と組み合わせて cgi サービスを提供するために利用する. cgi-asir.sh では CGI_ASIR_ALLOW 環境変数で公開するコマンドを指定する.

  * 1.24--1.25      OpenXM_contrib2/asir2000/builtin/miscf.c

  * 1.36--1.38      OpenXM_contrib2/asir2000/parse/eval.c

  * 1.6--1.7       OpenXM_contrib2/asir2000/parse/function.c

  * 1.33      OpenXM_contrib2/asir2000/parse/parse.h

initialize_static_variable
--------------------------

static 変数の初期化の問題点. 初期化の時に segmentation fault がおきる.

  * static 変数の取扱. 下の例を参照のこと.

     if (1) {
      module abc;
      static A;
      A=1;
      endmodule;
     } else { };

     end$
     を t.rr とするとき,

     [6] load("./t.rr");
     1
     internal error (SEGV)
     となる.

     t.rr を
     if (1) {
      module abc;
      static A;
      localf initA;
      localf foo;
      def initA() {
        A=1;
      }
      initA();
      def foo() {
        return A;
      }
      endmodule;
     } else { };

     end$
     とすると正しく初期化される.

ChangeLog

  * oxasir-win.rr の取扱で問題点として浮上.  2005.07.25.

  * oxasir-win.rr の取扱で double quote の取り扱いに問題があったが, これは asir2000/io/ox_asir.c, 1.58, で問題点解決.

  * ox_asir に計算を依頼する時は if (1) { ... }で囲む.

function
--------

function 宣言することにより函数形式の不定元を生成できる.

function 宣言することにより函数形式の不定元を生成できる.

微分函数 diff はこの函数形式の不定元の微分をやはり函数形式の不定元として生成する.
     たとえば f{1,2}(x,y) は f を x について一階偏微分, y について 2階偏微分したもの.

diff は合成関数としての処理も行う.

     [1915] function f(x,y);
     [1916] F=f(f(x,y),y)$
     [1917] diff(F,y);
     f{1,0}(f(x,y),y)*f{0,1}(x,y)+f{0,1}(f(x,y),y)
     [1918] vtype(f(p,q));
     2
     [1919] deg(diff(F,y),f{0,1}(x,y));
     1

See vtype see diff

ChangeLog

  * いつの commit で導入されたか不明.

数論・代数
=====

small_jacobi
------------

small_jacobi(A,M)
     :: Jacobi 記号の計算

return
     整数

arg1, arg2
     整数

  * M が素数のときは Legendre 記号とよばれ, x^2 = A mod M に解があるとき 1, 解がないとき -1 をもどす.

  * Jacobi 記号は Legendre 記号の積で定義される (初等整数論の本参照).

  * この関数は machine int の範囲で jacobi 記号を計算する.

     [1286] small_jacobi(2,3);
     -1
     [1287] small_jacobi(2,7);
     1

参照
     http://members.jcom.home.ne.jp/yokolabo/asirlib/ も見てね.

ChangeLog

  * この関数の由来は不明.

noro_matrix.rr
--------------

linalg.unit_mat(ARG1)

linalg.random_rmat(ARG1, ARG2, ARG3)

linalg.minipoly_mat(ARG1)

linalg.compute_kernel(ARG1)

linalg.compute_image(ARG1)

linalg.jordan_canonical_form(ARG1)

  * 簡単な解説および実例は http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/taka/2007/knx/noro_matrix-ja.txt を参照.

     load("noro_matrix.rr");
     A=newmat(4,4,[[2,0,0,0],[3,5,1,0],[-9,-9,-1,0],[-5,0,0,1]]);
     B=linalg.jordan_canonical_form(A);

参照
     invmat

ChangeLog

  * この関数は 2004-04 頃から線形代数III の講義をしながら書かれた.

  * ソース:  OpenXM/src/asir-contrib/packages/src/noro_matrix.rr

f_res
-----

f_res

  * f_res は各種の終結式を計算するモジュールである. ox_grep("f_res"); で online manual を閲覧可能である.

参照

ChangeLog

  * このモジュールは Fujiwara 君の修士論文が元になり, それを改造したものである.

  * OpenXM/src/ox_cdd, OpenXM/src/asir-contrib/packages/src/f_res.rr

D 加群の制限に関する関数
=============

nk_restriction.restriction
--------------------------

nk_restriction.restriction(ID, VL, DVL, W)
     :: D 加群 M = D / ID (ホロノミック D イデアル ID) に対して, 重みベクトル W についての制限加群を返す.

Id
     イデアルの生成元のリスト

VL
     変数のリスト

DVL
     変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W
     重みベクトルを表すリスト

  * W の要素は非負整数で, 0 番目の要素から連続して正の整数が入らなければならない. (すなわち, [1,1,0,0,0] は OK だが、 [1,0,1,0,0] はダメ)

  * 正の重みを持つ変数についての制限を行う. 例えば, VL =[x,y,z], W =[1,1,0] であれば, x,y について制限を行う.

以下は, イデアル I = D . { x dx -1, y dy - 1 } とおいた時, D 加群 M = D / I の x についての制限加群を計算した例である.

     [1432] nk_restriction.restriction([x*dx-1,y*dy-1],[x,y],[dx,dy],[1,0]);
     -- generic_bfct_and_gr :0.001sec(0.001629sec)
     generic bfct : [[1,1],[s-1,1]]
     S0 : 1
     B_{S0} length : 2
     -- fctr(BF) + base :0.000999sec(0.0005109sec)
     [[y*dy-1,(y*dy-1)*dx,-1],[[1],[0]]]

返り値の第 1 番目の要素 [[1],[0]]] は, 制限加群の基底 dx^1, dx^0 を意味し, 返り値の第 0 番目の要素から, 制限加群は (y dy - 1, 0), (0, ydy-1), (-1,0) で生成されることがわかる.

nk_restriction.restriction_ideal
--------------------------------

nk_restriction.restriction_ideal(ID, VL, DVL, W)
     :: ホロノミック D イデアル ID を重みベクトル W についての制限イデアルを返す.

Id
     イデアルの生成元のリスト

VL
     変数のリスト

DVL
     変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W
     重みベクトルを表すリスト

  * W の要素は非負整数で, 0 番目の要素から連続して正の整数が入らなければならない. (すなわち, [1,1,0,0,0] は OK だが, [1,0,1,0,0] はダメ)

  * 正の重みを持つ変数についての制限を行う. 例えば, VL =[x,y,z], W =[1,1,0] であれば, x,y について制限を行う.

以下は, イデアル I = D . { x dx -1, y dy - 1 } の x についての制限イデアルを計算した例である。

     [1346] nk_restriction.restriction_ideal([x*dx-1,y*dy-1],[x,y],[dx,dy],[1,0]);
     -- generic_bfct_and_gr :0.002sec(0.001652sec)
     generic bfct : [[1,1],[s-1,1]]
     S0 : 1
     B_{S0} length : 2
     -- fctr(BF) + base :0sec(0.000566sec)
     -- restriction_ideal_internal :0.001sec(0.0007441sec)
     [-1]

nk_restriction.integration
--------------------------

nk_restriction.integration(ID, VL, DVL, W)
     :: D 加群 M = D / ID (ホロノミック D イデアル ID) に対して, 重みベクトル W についての積分加群を返す.

Id
     イデアルの生成元のリスト

VL
     変数のリスト

DVL
     変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W
     重みベクトルを表すリスト

  * W の要素は非負整数で, 0 番目の要素から連続して正の整数が入らなければならない. (すなわち, [1,1,0,0,0] は OK だが, [1,0,1,0,0] はダメ)

  * 正の重みを持つ変数についての積分を行う. 例えば, VL =[x,y,z], W =[1,1,0] であれば, x,y について積分を行う.

以下は, イデアル I = D . {2 t dx + dt, t dt + 2 x dx + 2 } とおいた時, D 加群 M = D / I の t についての積分加群を計算した例である. ([SST, Ex5.5.2, Ex5.5.6])

     [1351] nk_restriction.integration([2*t*dx+dt,2*x*dx+t*dt+2],[t,x],
     [dt,dx],[1,0]);
     -- generic_bfct_and_gr :0.001sec(0.001796sec)
     generic bfct : [[1,1],[s,1],[s-1,1]]
     S0 : 1
     B_{S0} length : 2
     -- fctr(BF) + base :0.001sec(0.0006731sec)
     [[4*x*dx^2+6*dx,-4*t*x*dx^2-6*t*dx,2*x*dx+1,-2*t*x*dx,2*t*dx],[[1],[0]]]

返り値の第 1 番目の要素 [[1],[0]]] は, 積分加群の基底 t^1, t^0 を意味し, 返り値の第 0 番目の要素から, 積分加群は (4 x dx^2 + 6 dx, 0), (0, -4 x dx^2 - 6 dx), (0, -2 x dx), (0, 2 dx) で生成されることがわかる.

nk_restriction.integration_ideal
--------------------------------

nk_restriction.integration_ideal(ID, VL, DVL, W)
     :: ホロノミック D イデアル ID を重みベクトル W についての積分イデアルを返す.

Id
     イデアルの生成元のリスト

VL
     変数のリスト

DVL
     変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W
     重みベクトルを表すリスト

  * W の要素は非負整数で, 0 番目の要素から連続して正の整数が入らなければならない. (すなわち, [1,1,0,0,0] は OK だが, [1,0,1,0,0] はダメ)

  * 正の重みを持つ変数についての積分を行う. 例えば, VL =[x,y,z], W =[1,1,0] であれば, x,y について積分を行う.

以下は, イデアル I = D . {2 t dx + dt, t dt + 2 x dx + 2 } の t についての積分イデアルを計算した例である. ([SST, Ex5.5.2, Ex5.5.6])

     [1431]  nk_restriction.integration_ideal([2*t*dx+dt,t*dt+2*x*dx+2],[t,x],
     [dt,dx],[1,0]);
     -- generic_bfct_and_gr :0.002999sec(0.002623sec)
     generic bfct : [[1,1],[s,1],[s-1,1]]
     S0 : 1
     B_{S0} length : 2
     -- fctr(BF) + base :0.001sec(0.001091sec)
     -- integration_ideal_internal :0.002sec(0.001879sec)
     [2*x*dx+1]

nk_restriction.ann_mul
----------------------

nk_restriction.ann_mul(I, J, VL, DVL)
     :: F を零化するホロノミック D イデアル I, G を零化するホロノミック D イデアルを J としたとき, FG を零化するホロノミック D イデアルを返す.

I
     イデアルの生成元のリスト

J
     イデアルの生成元のリスト

VL
     変数のリスト

DVL
     変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

  * test_ann_mul(), test_ann_mul2(), test_ann_mul3() を参照.

nk_restriction (option)
-----------------------

nk_restriction.restriction(... | inhomo=N, param=P, s0=M)

nk_restriction.restriction_ideal(... | inhomo=N, param=P, s0=M, ht=B, ord=ORD)

nk_restriction.integration(... | inhomo=N, param=P, s0=M)

nk_restriction.integration_ideal(... | inhomo=N, param=P, s0=M, ht=B, ord=ORD)
     :: D 加群の制限, 積分に関する関数のオプションの説明

N
     0 または 1

P
     リスト (係数体に属する変数のリスト)

M
     整数

B
     0, 1, 2, 3 のいずれか

ORD
     重み0の変数に対する項順序

  * N が 0 でないとき, 非斉次部分の計算を行う.

     restriction_ideal (integration_ideal) に関しては, イデアル I の M 変数についての制限(積分)イデアル J と

     J[K]-(1/IH[K][1])(IH[K][0][0][0]IH[K][0][0][1]+...+IH[K][0][M][0]IH[K][0][M][1]) \in I

     を満たす非斉次部分を構成する情報 IH とのペア [J,IH] を出力する. 詳しい出力の見方については, 下の例やソースの inhomo_part のコメントを参照.

     restriction, integration に対する inhomo オプションは restriction_ideal, integration_ideal のサブルーチンとしての実行用なので, ユーザが明示的に使用することはない.

  * PARAM に指定された変数は係数体に属するものとみなされて計算が行われる. また, ``generic'' であることが仮定される. つまり, これらの変数に依存するような generic b-関数の根は, 最大整数根でないということである.

  * PARAM が指定されると, generic b-関数の計算は noro による高速アルゴリズムではなく, 消去法が用いられる. PARAM に空リストを指定することで, b-関数の計算方法のフラグとしても利用できる.

  * M が負でないとき, 計算を行わずに s-m を generic b-関数として制限, 積分等の計算を行う.

  * B により, 加群のグレブナ基底計算に斉次化, trace アルゴリズムを用いるかどうか指定できる. ただし, 斉次化ありで計算できるのは Risa/Asir バージョン 20100415 以降である.

     0: 斉次化なし, trace なし

     1: 斉次化なし, trace あり

     2: 斉次化あり, trace なし (デフォルト)

     3: 斉次化あり, trace あり

  * ORD が指定されると, 出力の積分, 制限イデアルは, その項順序に関するグレブナ基底となる. 加群のグレブナ基底計算の POT 順序の tie breaker として使用されるので計算効率に大きな影響を与える可能性がある. デフォルトは 0, つまり全次数逆次書式順序である.

     このオプションは PARAM と同時利用できない. (後に対応予定.)

以下は, t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a} の annihilator I = D . { x(1-x)dx^2+((1-t)dt-(a+b+1)x+c-1)dx-ab, (1-t)x dx+t(1-t)dt+(2-c)t+b-1, (xt-1)dx+at } の t についての積分イデアル J を計算し, Gauss の超幾何微分方程式を導出した例である. ([SST, Chap 1.3])

     [1555] A=ndbf.ann_n([t,1-t,1-x*t])$
     [1556] I=map(subst,A,s0,b-1,s1,c-b-1,s2,-a);
     [(x^2-x)*dx^2+((t-1)*dt+(a+b+1)*x-c+1)*dx+b*a,(-t+1)*x*dx+(t^2-t)*dt+(-c+2)*t+b-1,(t*x-1)*dx+a*t]
     [1557] J=nk_restriction.integration_ideal(I,[t,x],[dt,dx],[1,0]|inhomo=1, param=[a,b,c]);
     -- nd_weyl_gr :0sec(0.001875sec)
     -- weyl_minipoly_by_elim :0.008001sec(0.006133sec)
     -- generic_bfct_and_gr :0.008001sec(0.006181sec)
     generic bfct : [[-1,1],[s,1],[s-a+c-1,1]]
     S0 : 0
     B_{S0} length : 1
     -- fctr(BF) + base :0sec(0.003848sec)
     -- integration_ideal_internal :0sec(0.07707sec)
     [[(x^2-x)*dx^2+((a+b+1)*x-c)*dx+b*a],[[[[dt,(-t+1)*dx]],1]]]

この出力は {(x^2-x)dx^2+((a+b+1)x-c)dx+ab } - 1/1 { dt (-t+1)dx } \in I であることを意味する.

この例のように積分変数が1変数 t, パラメータ変数が x のときイデアル I に対する inhomo=1 での積分アルゴリズムの出力が [[L],[[[[dt,M]],N]]] である場合, L は x のみの微分作用素, M は x, t の微分作用素, N は数で, L - (1/N)*dt*M が I の元となる. したがって f(x,t) が I で零化される函数とすれば, L integral(f(x,t),[t,a,b]) - (1/N)[(Mf)(a)-(Mf)(b)]=0 が成り立つ.

nk_restriction.trans_inhomo
---------------------------

nk_restriction.trans_inhomo(P, INT, VL, DVL, W)
     :: D 加群の制限イデアル, 積分イデアルの生成元に対する非斉次部分の情報から, 任意の元に対する非斉次部分を計算する関数

P
     積分イデアルの元, または制限イデアルの元

INT
     nk_restriction.integration_ideal( ... |inhomo=1); または

     nk_restriction.restriction_ideal( ... |inhomo=1); の出力

VL
     変数のリスト

DVL
     変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W
     重みベクトルを表すリスト

  * VL, DVL, W は INT の計算に用いたものをそのまま使用しなければならない.

  * もし, P が INT[0] で生成される積分, 制限イデアルの元でない場合はエラーメッセージが表示される.

nk_restriction.ost_integration_ideal
------------------------------------

積分領域が区間の直積であるような積分の満たすホロノミック斉次微分方程式系を返す (Oaku-Shiraki-Takayama, 2003).

nk_restriction.ost_integration_ideal(ID, VL, DVL, W, LB, UB)
     :: Heaviside 関数との積の満たす微分方程式系の計算にショートカット法を用いる.

nk_restriction.ost_integration_ideal2(ID, VL, DVL, W, LB, UB)
     :: Heaviside 関数との積の満たす微分方程式系の計算に制限イデアルを用いる.

Id
     イデアルの生成元のリスト

VL
     変数のリスト

DVL
     変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W
     重みベクトルを表すリスト

LB
     積分区間の下端を表すリスト

UB
     積分区間の上端を表すリスト

  * 下端, 上端に無限大を指定するときは, 文字列  "inf", "+inf", "-inf" を用いる.

以下は, Oaku-Shiraki-Takayama (2003) の例5.1を計算したものである. \int_0^∞ exp((-t^3+t)x) dt の被積分関数の満たすホロノミックイデアルは I = < dt +(3t^2-1)x, dx+t^3-t > であるから, これを入力として次のように計算を行う.

     [1871] Id=[dt+(3*t^2-1)*x, dx+t^3-t]$
     [1872] VL=[t,x]$
     [1873] DVL=[dt,dx]$
     [1874] W=[1,0]$
     [1875] nk_restriction.ost_integration_ideal(Id,VL,DVL,W,[0],["inf"]);
     -- nd_weyl_gr :0.008sec(0.006768sec)
     -- weyl_minipoly :0.004001sec(0.003029sec)
     -- generic_bfct_and_gr :0.012sec(0.0129sec)
     generic bfct : [[1,1],[s,1],[s-2,1]]
     S0 : 2
     B_{S0} length : 3
     -- fctr(BF) + base :0.008sec(0.007395sec)
     -- integration_ideal_internal :0.012sec + gc : 0.016sec(0.04311sec)
     [-27*x^3*dx^3-54*x^2*dx^2+(4*x^3+3*x)*dx+4*x^2-3,27*x^2*dx^4+135*x*dx^3+(-4*x^2+105)*dx^2-16*x*dx-8]

     [1876] nk_restriction.ost_integration_ideal2(Id,VL,DVL,W,[0],["inf"]);
     (略)
     [27*x^3*dx^3+54*x^2*dx^2+(-4*x^3-3*x)*dx-4*x^2+3,-27*x^2*dx^4-135*x*dx^3+(4*x^2-105)*dx^2+16*x*dx+8]

この出力は, 積分を零化するホロノミック系である.

nk_restriction.ost_sum
----------------------

nk_restriction.ost_sum(ID, VL, DVL, W)
     :: 和の満たす(斉次/非斉次)差分方程式系を返す.

Id
     イデアルの生成元のリスト

VL
     変数のリスト

DVL
     変数のリスト(VL に対応する差分作用素の方の変数)

W
     重みベクトルを表すリスト

  * Oaku-Shiraki-Takayama (2003) の第6節のアルゴリズムの実装.

  * オプション inhomo が 0 でないとき, 非斉次部分を与える情報も返す.

以下は, Oaku-Shiraki-Takayama (2003) の例6.5の非斉次部分まで計算したものである. \sum_{k=a}^b n_C_k の非和関数の満たすホロノミックイデアルは I = < (n-k+1)E_n-(n+1), (k+1)E_k-(n-k) > であるから, これを入力として次のように計算を行う.

     [1871] Id=[(n-k+1)*en-(n+1), (k+1)*ek-(n-k)]$
     [1872] VL=[k,n]$
     [1873] DVL=[ek,en]$
     [1874] W=[1,0]$
     [1875] nk_restriction.ost_sum(Id,VL,DVL,W|inhomo=1);
     -- nd_weyl_gr :0.006667sec(0.004057sec)
     -- weyl_minipoly :0sec(0.001163sec)
     -- generic_bfct_and_gr :0.01sec(0.007085sec)
     generic bfct : [[1,1],[s,1]]
     S0 : 0
     B_{S0} length : 1
     -- fctr(BF) + base :0.003333sec(0.001785sec)
     -- restriction_ideal_internal :0sec(0.002336sec)
     [[(en-2)*n+en-2],[[[[ek-1,[(-en+1)*n-en+1,1]]],1]]]

nk_restriction.module_restriction
---------------------------------

nk_restriction.module_restriction(M, VL, DVL, W)
     :: D 加群 D^r/M (M は D^r の部分加群) の重みベクトル W についての制限加群を返す.

M
     D 自由加群 D^r の部分加群

VL
     変数のリスト

DVL
     変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W
     重みベクトルを表すリスト

  * W の要素は非負整数で, 0 番目の要素から連続して正の整数が入らなければならない. (すなわち、[1,1,0,0,0] は OK だが、 [1,0,1,0,0] はダメ) 現在のところ, 1 変数についてだけ制限をとるようにしか実装していないため, W は 0 番目の要素だけ正の整数が入る.

  * 正の重みを持つ変数についての制限を行う. 例えば, VL =[x,y,z], W =[1,0,0] であれば x について制限を行う.

以下は, D 自由加群 D^2 の部分加群 M = D . { (dx, dy), (dy, dx), (x, y) } をとり, D 加群 D^2 / M の x ついての制限加群を計算した例である.

     [2691] nk_restriction.module_restriction([[dx,dy],[dy,dx],[x,y]], [x,y], [dx,dy], [1,0]);
     ....
     bfunction :
     s
     [[1,1],[s,1]]
     integer roots :
     [0,0]
     Generators:
     [e1,e2]
     Relations:
     [-8*e2*dy,4*e2*dy^2,-4*e2*dy^3,4*e1*y*dy-4*e1,-4*e1*dy^2,-4*e2,-e2*y*dy^2+2*e2*dy,-e1*y*dy+e1,e1*y*dy-e1]
     [[0,-1],[-dy^2,0],[y*dy-1,0]]

制限加群は (0, -1), (-dy^2, 0), (y, dy-1, 0) で生成されることがわかる.

nk_restriction.module_integration
---------------------------------

nk_restriction.module_integration(M, VL, DVL, W)
     :: D 加群 D^r/M (M は D^r の部分加群) の重みベクトル W についての積分加群を返す.

M
     D 自由加群 D^r の部分加群

VL
     変数のリスト

DVL
     変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W
     重みベクトルを表すリスト

  * W の要素は非負整数で, 0 番目の要素から連続して正の整数が入らなければならない. (すなわち、[1,1,0,0,0] は OK だが、 [1,0,1,0,0] はダメ) 現在のところ, 1 変数についてだけ積分をとるようにしか実装していないため, W は 0 番目の要素だけ正の整数が入る.

  * 正の重みを持つ変数についての積分を行う. 例えば, VL =[x,y,z], W =[1,0,0] であれば x について積分を行う.

以下は, D 自由加群 D^2 の部分加群 M = D . { (x, y), (y, x), (dx, dy) } をとり, D 加群 D^2 / M の x についての積分加群を計算した例である.

     [2702] nk_restriction.module_integration([[x,y],[y,x],[dx,dy]], [x,y], [dx,dy], [1,0]);
     ...
     bfunction :
     s
     [[1,1],[s,1]]
     integer roots :
     [0,0]
     Generators:
     [e1,e2]
     Relations:
     [-8*e2*y,-4*e2*y^2,-4*e2*y^3,-4*e1*y*dy-8*e1,-4*e1*y^2,-4*e2,-e2*y^2*dy-4*e2*y,e1*y*dy+2*e1,e1*y*dy+2*e1]
     [[0,-1],[y*dy+2,0],[-y^2,0]]

積分加群は (0, -1), (y dy + 2, 0), (-y^2, 0) で生成されることがわかる.

ChangeLog

  * これらの関数は OpenXM/src/asir-contrib/packages/src/nk_restriction.rr で定義されている. nk_restriction.rr, 1.1--1.6 を見よ.

  * 2010-02-05 に 3 つの option (inhomo, param, s0) が追加された. 1.7--1.9 を見よ.

  * 2010-05 から 2010-07 にかけて 2 つの option (ht, ord) と新たな関数 trans_inhomo() が追加された. 1.10--1.13 を見よ.

  * 2011-08 に ost_sum() が追加された. 1.20 を見よ.

  * 2016-05 に module_integration(), module_restriction() が追加された.

その他(未分類)
========

tk_pfn.rkn
----------

tk_pfn.rkn(F,X,Y,XS,YS,HT,H)
     :: Pfaffian 方程式に対する Runge-Kutta 法

return
     リスト  独立変数と解の組

F, X, Y, Xs, Ys, Ht, H
     F は Pfaffian 方程式の係数行列リスト. X は独立変数リスト. Y は従属変数リスト. XS 独立変数の出発値リスト. YS は出発時の従属変数の値リスト. XT は停止する独立変数の値リスト. H は微少数.

  * この関数は連立Pfaffian方程式 dY/d X[i] = F[i] Y を数値的に解く.

  * 任意の holonomic system は Pfaffian 方程式に変換できる ([SST, Chap 1]).　変換には yang.rr パッケージを用いる.

  * d F[i]/d X[j] + F[i] F[j] = d F[j]/d X[i] + F[j] F[i] = 0 が任意の i, j に対して成立していることが解が存在する必要十分条件である. この条件が成立しないときにこの関数を用いて解を計算してもその解は偽物である.

  * X[i] が動く範囲は実数でないといけない.

  * Xs[i] <= X[i] <= Xt[i] または Xt[i] <= X[i] <= Xs[i] である.

  * 引数の与え方の例はソースコード (OpenXM/lib/asir-contrib/tk_pfn.rr )の tk_pfn.test1, tk_pfn.test2 を参照.

  * 下の例の出力は X=(1,3) での値が Y=(-8,2,-6) であることを意味する.

  * 参考. taka_runge_kutta.rr, yang.rr

     [1355] import("tk_pfn.rr");
     [1590]  tk_pfn.test1();
     Value at (3,0.1)[8.99,6,-0.2]
     Value at (1,3)[-8,2,-6]
     [[[1,3],-8,2,-6],
      [[1,2.9],-7.41,2,-5.8],
      --- snip ---
      [[3,0.1],8.99,6,-0.2]]

ChangeLog

  * この関数は 2009-12 から 2010-01 にかけて最初の版が書かれた.

  * OpenXM/src/asir-contrib/packages/src/tk_pfn.rr 1.1, 1.2

  * このモジュールの前身は tk_pf2.rr である. これは独立変数が 2 個の場合である.

tk_pfn.graph
------------

tk_pfn.graph(PF,DOM,IV,STEP)
     :: 2変数 Pfaffian 方程式を Runge-Kutta 法で解いてグラフ表示する.

return
     リスト  リストの要素は以下の形式 [[xの値,yの値],Y_1の値,Y_2の値, ...]. [xの値, yの値] は [0,0],[0.2,0],[0.4,0], ... , [0,0.2],[0.2,0.2], ... のように y の値が外側ループ, x の値が内側ループの形式で増える.

Pf, Dom, Iv, Step
     PF は Pfaffian 方程式の係数行列リスト.  独立変数は x, y で固定. DOM リスト. 解くべき領域. IV リスト. 領域の左端での初期値. STEP 刻み幅.

  * tk_pf2.rr, mt_graph.rr を import しておく必要がある.

  * この関数は連立Pfaffian方程式 dY/dx = Pf[0] Y, dY/dy = Pf[1] Y を数値的に解いてグラフ表示する.

  * DOM は [[xmin,xmax],[ymin,ymax]] の形式.

  * 例はソースコード (OpenXM/lib/asir-contrib/tk_pfn.rr )の tk_pfn.testgraph1(), tk_pfn.testgraph2() を参照.

  * option としては fit=1 がある. Z軸を適宜調整する.

  * DOM の端はグラフ表示の時に一部カットされるので注意.

     [1355] import("tk_pf2.rr"); import("mt_graph.rr"); import("tk_pfn.rr");
     [1590] tk_pfn.testgraph1();

     ここで testgraph1() は以下のとおり.
     def testgraph1() {
       /* tk_bess2.bess2pf(1/2); */
       Pf=  [[[ 0, (1)/(x), 0 ],
              [ -x, (2*x^2+1)/(x), -2*x ],
              [ -y, 0, 0 ]],
             [[ 0, 0, (1)/(y) ],
              [ -x, 0, 0 ],
              [ -x, (1/2)/(x), (-1/2)/(y) ]]];
       /* tk_bess2.bess2Iv(1/2,[0.5,1.5]); */
       Iv = [0.105994,-0.651603,-0.760628];
       Dom=[[0.5,1.5],[1.5,9]];
       Step = 0.5;
       return tk_pfn.graph(Pf,Dom,Iv,Step | fit=1);
     }

ChangeLog

  * この関数は 2010-08 に最初の版が書かれた.

  * OpenXM/src/asir-contrib/packages/src/tk_pfn.rr 1.8

tk_rk.runge_kutta_4
-------------------

tk_rk.runge_kutta_4(EQ,X,Y,X0,Y0,TERMINAL,STEP)
     :: 4次の Runge-Kutta 法による微分方程式の数値近似解

return
     リスト  リストの要素は以下の形式 [Xの値,Y_1の値,Y_2の値, ...]. X の値は減っていく. よってリストの先頭が TERMINAL 付近での Y の値.

Eq, X, Y, Step
     EQ は 方程式の右辺. リスト. Y[0]'=Eq[0], Y[1]'=Eq[1], ... である. X 独立変数名. Y リスト. 従属変数のリスト. STEP 刻み幅.

X0, Y0, Terminal
     X0 出発点の X の値. Y0 出発点での Y の初期値. TERMINAL X の終着点.

  * taka_runge_kutta.rr を import しておく必要がある.

  * この関数は連立常微分方程式 Y[0]'=Eq[0], Y[1]'=Eq[1], ... を数値的に解く.

  * 例はソースコード (OpenXM/lib/asir-contrib/src/taka_runge_kutta.rr )の tk_rk.test4() を参照.

     [1355] import("taka_runge_kutta.rr");
     [1590] tk_rk.test4();

     ここで test4() は以下のとおり. 振動の方程式, y0'=y1, y1'=-y0 (y0''+y0=0). 答は y0=cos(x)
     taka_plot_auto は下方向で y が正.

     def test4() {
       A=runge_kutta_4([y1,-y0],x,[y0,y1],0,[1,0],3.14*2,0.1);
       taka_plot_auto(A);
       return(A);
     }

ChangeLog

  * この関数は 2000 年代の前半に最初の版が書かれた. 2010年 Pfaffian の数値解析の為に再度整備

  * OpenXM/src/asir-contrib/packages/src/taka_runge_kutta.rr 1.17

tk_rk.runge_kutta_4_linear
--------------------------

tk_rk.runge_kutta_4_linear(P,X,Y,X0,Y0,TERMINAL,STEP)
     :: 4次の Runge-Kutta 法による微分方程式の数値近似解. 線形方程式専用.

return
     リスト  リストの要素は以下の形式 [Xの値,Y_1の値,Y_2の値, ...]. X の値は減っていく. よってリストの先頭が TERMINAL 付近での Y の値.

P, X, Y, Step
     P は 方程式の右辺. リスト. Y'=P Y である. 従属変数 Y は不要. X 独立変数名. Y リスト. 従属変数のリスト. 従属変数は自動生成される. 使われていないので空リストでよい. STEP 刻み幅.

X0, Y0, Terminal
     X0 出発点の X の値. Y0 出発点での Y の初期値. TERMINAL X の終着点.

  * taka_runge_kutta.rr を import しておく必要がある.

     [1355] import("taka_runge_kutta.rr");
     [1590] A=tk_rk.runge_kutta_4_linear([[0,1],[-1,0]],x,[ ], 0, [1,0], 3.14*2, 0.1);
     [1591] taka_plot_auto(A);

     振動の方程式, y0'=y1, y1'=-y0 (y0''+y0=0). 答は y0=cos(x) を解いている.
     taka_plot_auto は下方向で y が正.

ChangeLog

  * 2010年 Pfaffian の数値解析の為に再整備.

  * OpenXM/src/asir-contrib/packages/src/taka_runge_kutta.rr 1.17

fj_simplify.simplify
--------------------

fj_simplify.simplify(ARG1)
     :: arg1 を簡単化する.

return
     多項式, 有理式 または quote

arg1
     多項式 または 有理式

  * この関数は Joel S. Cohen, Computer Algebra and Symbolic Computation, http://web.cs.du.edu/~jscohen/MathematicalMethods/index.htm に記述されている Automatic simplification algorithm と B.F.Caviness, R.J.Fateman, Simplification of Radical Expressions (1976) に記述されている radcan アルゴリズムの実装である.

  * 複素多値関数としては (x*y)^a = x^a*x^b は一般には成立しないので, 結果を複素関数に使うときは注意が必要である. (x^a = exp(a*log(x)) なので)

     import("fj_simplify.rr");
     [1434] fj_simplify.simplify((x^(1/2))^3);
     ((x)^(3/2))
     [1435] fj_simplify.simplify((2^(1/2))^2);
     2
     [1436] fj_simplify.simplify((2+2^(1/2))^3);
     14*((2)^(1/2))+20
     [1437] fj_simplify.simplify(exp(x)*exp(-x+y));
     ((@e)^(y))

参照
     quote

ChangeLog

  * Todo: exp 以外の特殊関数についてのsimplification の機能.

  * この関数は 2010.01 に M.Fujimoto により最初の版が書かれた. OpenXM/src/asir-contrib/packages/src/fj_simplify.rr

tk_jack.zonal
-------------

tk_jack.zonel(P,N)
     :: 分割 p に対する n 変数の zonal 多項式を出力する.

return
     多項式. x_1, x_2, ... が変数.

p
     数のリスト. p=[p0,p1,...] の時 p0>=p1>=...>0.

n
     自然数

  * この関数は Koev-Edelman による Pieri 型公式を用いた Jack symmetric function の計算アルゴリズムの実装である. 詳しくは Wikipedia 英語版 Jack symmetric function の項を参照.

  * zonal(P,N) = jack(P,N,2) である.

     load("tk_jack.rr");
     [1434] tk_jack.zonal([3,2,1],3);
     (112*x_3*x_2^2+112*x_3^2*x_2)*x_1^3+(112*x_3*x_2^3+168*x_3^2*x_2^2+112*x_3^3*x_2)*x_1^2+(112*x_3^2*x_2^3+112*x_3^3*x_2^2)*x_1
     [1435] tk_jack.zonal([1,1],3);
     (2*x_2+2*x_3)*x_1+2*x_3*x_2
     [1436]  tk_jack.jack([1,1],3,2);
     (2*x_2+2*x_3)*x_1+2*x_3*x_2

参照

ChangeLog

  * この関数は wishart 分布に従う対称行列の第一固有値が x 以下である確率の計算を holonomic gradient method でやるためにその初期値を計算する C のプログラムが必要であった. それを debug するためにとりあえず書いたもの.

  * 最適化をまだまださぼってる.

ot_hgm_ahg.cbase
----------------

cbase(A)
     ::  A で定義される A-超幾何方程式系の Pfaffian の基底を求める.

return
     Pfaffianの基底(微分作用素のモノミアル)のリスト

A
     整数を成分とする行列 (maximal rank のもの)を表すリスト

  * A-超幾何イデアルの Q(x)[dx] における標準基底は Pfaffian の基底となるが, 逆はかならずしも真ではない.  個数はもちろん同じである.

  * アルゴリズムは T.Hibi, K.Nishiyama, N.Takayama, Pfaffian Systems of A-Hypergeometric Equations I, Bases of Twisted Cohomology Groups, arxiv:1212.6103 による. さらにパラメータ b を数に特殊化する確率算法を用いている.

     [2190] import("ot_hgm_ahg.rr");
     1
     [2191] ot_hgm_ahg.cbase([[1,1,1,1],[0,1,2,3]]);
     We use a probabilistic algorithm to determine the base.[dx2^2,dx3*dx2,dx3^2]

     [dx3,dx4,1]

参照
     get_mat2

ChangeLog

  * この関数は 2012  から 2014-春休みにかけてかかれた.

  * version 1.1 以前の版は h-mle/A-hg/Prog  (研究グループの共有フォルダ) にあり.

ot_hgm_ahg.get_mat2
-------------------

get_mat2(A,W,STD,MSET)
     ::  A で定義される A-超幾何方程式系 H_A の Pfaffian の基底を求めるための Sylvester 法 を適用するための行列を生成する.

return
     リスト

A
     整数を成分とする行列 (maximal rank のもの)を表すリスト

W
     リスト. toric ideal のグレブナー基底を計算するための weight vector. 多分なんでもいいはず.

Std
     リスト. Pfaffian の基底.  cbase(A) の出力を用いる.

Mset
     Sylvester 型行列を作るための微分作用素のモノミアルのリスト.

  * 出力を P に代入すると, P[0]*P[2] - P[1]*STD が modulo  H_A で 0 となる. P[0] と P[2] を結合した行列が, sylvester 行列 (論文の記号での F'). P[2], STD が index モノミアルである. 論文での記号では P[2] は M_t,  STD は S.

  * アルゴリズムは K.Ohara, N.Takayama, Pfaffian Systems of A-Hypergeometric Equations II, Holonomic Gradient Method による.  論文の行列 F'.

     [2190] import("ot_hgm_ahg.rr");
     1
     [2191] A=[[1,1,1,1],[0,1,2,3]]$
     Std=ot_hgm_ahg.cbase(A)$
     W=[[dx1,1,dx2,1,dx3,1,dx4,1]]$
     Mset=[1,dx1,dx2,dx3,dx4]$
     [2192] ot_hgm_ahg.get_mat2(A,W,Std,Mset);

     省略

参照
     cbase

ChangeLog

  * この関数は 2012  から 2014-春休みにかけてかかれた.

  * version 1.1 以前の版は h-mle/A-hg/Prog  (研究グループの共有フォルダ) にあり.

  * ソース ot_hgm_ahg.rr の test3(), test3b(), test4(), test5(), test6(), test6c() 等に利用例がある.

  * test3b() で MSET を一次式全部にしたものが, 論文の例.

ot_hgm_ahg.hgm_ahg_contiguity
-----------------------------

hgm_ahg_contiguity(A,STDMON,LINE,X0,INITVAL,START,END)
     ::  A で定義される A-超幾何方程式系のcontiguity relation を Sylvester matrix を用いて計算し, それを用いて超幾何関数の値を求める.

return
     基底を超幾何関数に作用させたベクトルの値 F(End;X0) ??

A
     整数を成分とする行列 (maximal rank のもの)を表すリスト.

StdMon
     リスト.  Pfaffian の基底を与える微分作用素のモノミアルのリスト.

Line
     リスト  [ContiDir,Beta,Z].

X0
     リスト. x 変数の値.

InitVal
     リスト. 基底を超幾何関数に作用させたベクトルの初期値 F(Start;X0)

Start
     リスト.   Z パラメータの初期値??

End
     リスト.   Z パラメータの終端値??

  * Todo, この関数のインタフェースは変更される予定.

  * X0 は有理数のリスト.

  * ContiDir は End-Start と同じ方向.

  * Beta.  A超幾何関数の B パラメータの初期値 ??

  * Z.  ContiDir での一次元 contiguity を表現するための不定元の名前.

  * ソース中の利用例. test_fd_conti(), test_c111_conti()

  * アルゴリズムおよび利点は K.Ohara, N.Takayama, Pfaffian Systems of A-Hypergeometric Equations II, Holonomic Gradient Method 参照.

     [2190] import("ot_hgm_ahg.rr");
     1
     [2191] ot_hgm_ahg.test_fd_conti();
     (Todo, 引数がどうなるかの例を加える.)

参照
     get_mat2 hgm_ahg_expected_value_contiguity hgm_ahg

ChangeLog

  * この関数は 2014-07-11 に最初の版が 1.10版 ot_hgm_ahg.rr に commit された.

  * インタフェースが更新された版は, 1.??版.

tk_hgpoly.optip
---------------

hgpoly.optip(A,B,W)
     ::  整数計画問題をグレブナー基底を用いて解く.

return
     リスト.

A
     非負整数を成分とする行列 (maximal rank のもの)を表すリスト

B
     非負整数を成分とするベクトルを表すリスト

W
     非負整数を成分とするベクトルを表すリスト

  * A U = B を満たす非負の整数ベクトル U の中で, 内積 W U を最小化する U を戻す.

     [0] import("tk_hgpoly.rr");
     [2191] tk_hgpoly.optip([[1,1,1,1],[0,1,2,3]],[20,40],[1,1,1,0]);
     [6,1,0,13]

参照
     feasible

ChangeLog

  * この関数は   2014-12-12 に commit された. 元版は h-mle/A-hg/Prog

tk_hgpoly.hgpoly
----------------

hgpoly.hgpoly(A,B)
     ::  A, B で定義される超幾何多項式を計算する.

return
     リスト.

A
     非負整数(todo, 再度確認)を成分とする行列 (maximal rank のもの)を表すリスト

B
     非負整数を成分とするリスト.

  * 戻り値を F とするとき, F[0] が超幾何多項式. 変数は x_1, x_2, ... F[1] は F[0] の分散表現多項式.

     [0] import("tk_hgpoly.rr");
     [2191] tk_hgpoly.hgpoly([[1,1,1,1],[0,1,2,3]],[2,2]);
     [x_3*x_1+1/2*x_2^2,(1/2)*<<0,2,0,0>>+(1)*<<1,0,1,0>>]

ChangeLog

  * この関数は   2014-12-12 に commit された.

tk_fd.abc2ahg
-------------

tk_fd.abc2ahg(A,B,C)
     ::  F_D(A, B,C) を解にもつ A-超幾何方程式系を求める.

return
     リスト.

A
     数

B
     数のリスト

C
     数

  * 戻り値リストの第０成分は A-超幾何方程式系を定義する行列. 第１成分はA-超幾何方程式系のパラメータβ.

     [2191] tk_fd.abc2ahg(-3,[-4,-5],3);

     [[[0,0,0,1,1,1],[1,0,0,1,0,0],[0,1,0,0,1,0],[0,0,1,0,0,1]],[11,5,4,5]]

参照
     abc2marginal marginal2abc

ChangeLog

  * この関数は   2014-12-13 に tk_fd.rr に追加された.

tk_fd.ahvec_abc
---------------

tk_fd.ahvec_abc(A,B,C,Y | all=1)
     ::   abc2marginal(A, B,C)  を周辺和にもつ (2,m+1) 分割表全体についての正規化定数 Z, および Z の変数 Y[1][0], ..., Y[1][m] (2番目の行)についての偏微分を計算する.

return
     リスト ANS

A
     数

B
     数のリスト. 長さは m.

C
     数

Y
     (2,m+1) 変数値をあらわすリストのリスト.

  * A, B, C, に現れる数は整数を与える. Y の成分は有理数を与える.

  * ANS[2]*ANS[1] が Z. ANS[2]*ANS[0][I] が Z の Y[1][I] についての偏微分.

  * 論文 1.Y.Goto, Contiguity relations of Lauricella's F_D revisited,  arxiv:1412.3256 で導出されている contiguity relation を用いて計算する.

     [2449] marginal2abc([3,12],[6,3,3,3]);
     [-3,[-3,-3,-3],4]

     [2450] tk_fd.ahvec_abc(-3,[-3,-3,-3],4,[[1,1/2,1/3,1/4],[1,1,1,1]]);
     [[ 24041/1152 143551/11520 16973/1280 78827/5760 ],1/7776]

     [2451] expectation_abc(-3,[-3,-3,-3],4,[[1,1/2,1/3,1/4],[1,1,1,1]]);
     [721230/173593,430653/173593,458271/173593,67566/24799]

参照
     expectation_abc

ChangeLog

  * この関数は   2014-夏に開発された.

pari, setbprec,setround,todouble,mpfr_gamma,mpfr_floor,mpfr_round,
------------------------------------------------------------------

pari(ARG1,ARG2,...)
     ::  MPFR で pari の関数を emulate するか ox_pari サーバーを呼び出す.
setbprec(ARG1)
setround(ARG1)
     丸めの方法の指定. mpfr 準拠.
todouble(ARG1)
     :: bigfloat 型を double に変換する.
mpfr_gamma(ARG1)
     :: gamma 関数の計算.
mpfr_floor(ARG1)
     ::  floor の計算.
mpfr_round(ARG1)
     :: 丸めの計算.

return
     後述.

arg1, arg2
     後述.

  * 20150807 以降の asir では, bigfloat が pari ではなく mpfr を用いて計算される. Todo, pari は ox_pari を呼び出すが, まだ ox_pari に未実装の機能が多くある. 区間演算への対応は行っていない.

  * pari(floor,ARG1), pari(round,ARG1), pari(gamma,ARG1) は mpfr で pari を emulate しているので, 動作が異なる. 特に gamma は複素数の引数を受け取らない. pari の floor は桁数が足りなくなるとエラーで終了したが, この floor では setprec で指定した桁数以内なら正しく floor を戻す. Todo, ox_pari  を指定して呼び出す方法.

     [219] ctrl("bigfloat",1)$
     [220] setprec(100)$
     [221] pari(floor,1111111111111.1+1/10);
     1111111111111

参照
     pari

ChangeLog

  * これらの大変更は 2015-08-03 より 08-07 の asir 合宿でおこなわれた. まだ作業中.  Todo, asirgui への対応. debug, ...

  * 変更をうけたソースコードは asir2000/builtin/bfaux.c, asir2000/engine/bf.c, asir2000/builtin/parif.c 等多数.

xyz_pqr, syz_stu
----------------

xyz_pqr(ARG1,ARG2[,FLAG])
xyz_stu(ARG1,ARG2)
     :: xyz に関する操作.

return
     整数

arg1, arg2
     整数

flag
     0 または 1

  * この項目は新しい関数の説明を書くためのテンプレートである. 消すな.

  * xyz_pqr() は, ARG1, ARG2 を pqr する.

  * FLAG が 0 でないとき, モジュラ計算を行う.

  * xyz_stu() は stu アルゴリズムを用いる.

     [219] xyz_pqr(1,2);
     3
     [220] xyz_pqr(1,2,1);
     3
     0
     [221] xyz_stu(1,2);
     3

参照
     xyz_abc

ChangeLog

  * この関数は 2004-3-1 から 2004-3-14 にかけて アルゴリズム xyz (論文 http://www.afo.org/xyz.pdf ) を用いて書き直された. 変更をうけたソースコードは xxxyy.rr, ppp.c である.

  * この関数は 2000 頃にはじめてのバージョンが書かれた. ソースは ppp.c である.