グレブナー道場, マルチメディア

• 3.2.1 不必要なペアの消去
• 3.2.2 ペアの選択方法
• 3.2.3 斉次化
• 3.2.4 Buchberger アルゴリズム (改良された形)

3.3 数学ソフトウェアのためのソフトウェア環境

• 3.3.1 Linux
• 3.3.2 Windows

3.4 Macaulay2, SINGULAR, CoCoA 上での計算

• 3.4.1 起動方法, ヘルプ, マニュアル
  • Macaulay2
  • SINGULAR
  • CoCoA
• 3.4.2 パッケージ, ライブラリの読み込み, ファイルの読み書き
  • Macaulay2
  • SINGULAR
  • CoCoA
• 3.4.3 基礎環の宣言, 項順序と多項式の入力
  • Macaulay2
  • SINGULAR
  • CoCoA
  Macaulay2, Singular, CoCoA での基礎環の宣言 , 3分12秒.
• 3.4.4 グレブナー基底の計算
  • Macaulay2
  • SINGULAR
  • CoCoA
• 3.4.5 イニシャルイデアルの計算
  • Macaulay2
  • SINGULAR
  • CoCoA
• 3.4.6 商および剰余の計算 {181
  • Macaulay2
  • SINGULAR
  • CoCoA

3.5 グレブナー基底を用いた種々のイデアル操作

• 3.5.1 消去順序
  • Macaulay2
  • SINGULAR
  • CoCoA
• 3.5.2 イデアルの和, 積, 共通部分
• 3.5.3 根基所属判定
  • Macaulay2
  • SINGULAR
  • CoCoA
• 3.5.4 イデアル商, saturation {192
  • Macaulay2
  • SINGULAR
  • CoCoA
• 3.5.5 根基計算

3.6 項順序変換

• 3.6.1 FGLM アルゴリズム
• 3.6.2 Hilbert driven アルゴリズム

3.7 加群のグレブナー基底計算

• 3.7.1 多項式環上の自由加群における項順序
• 3.7.2 加群における Buchberger アルゴリズム
• 3.7.3 syzygy の計算

3.8 Risa/Asir 上での計算

• 3.8.1 起動方法
• 3.8.2 ヘルプ, マニュアル
• 3.8.3 ファイルの読み書き
• 3.8.4 多項式の入力
• 3.8.5 項順序
• 3.8.6 グレブナー基底の計算
• 3.8.7 イニシャルイデアルの計算
• 3.8.8 剰余計算
• 3.8.9 消去法
• 3.8.10 最小多項式の計算
• 3.8.11 0 次元イデアルの項順序変換
• 3.8.12 イデアル演算
  • イデアルの共通部分
  • 根基所属判定
  • イデアル商, saturation

3.9 Macaulay2 によるプログラミングの例

• 3.9.1 イデアルの準素分解
• 3.9.2 SYCI アルゴリズム
• 3.9.3 Macaulay2 上での実装

3.10 章末問題

3.11 問題の略解

• 3.11.1 本文中の問題
  • 問題 3.2.7
  • 問題 3.2.11
  • 問題 3.2.19
  • 問題 3.5.3
  • 問題 3.5.6
  • 問題 3.5.11
  • 問題 3.5.16
  • 問題 3.5.21
  • 問題 3.5.23
  • 問題 3.7.5
  • 問題 3.7.13
• 3.11.2 章末問題
  • 問題1
  • 問題2
  • 問題3
  • 問題4
  • 問題5

参考文献

グレブナー基底の効率的計算についてのvideo講義録

• 野呂による講義(2011.07.27, 28): 7/27 , 7/28

第4章 マルコフ基底と実験計画法

4.1 分割表の条件付検定

• 4.1.1 十分統計量
• 4.1.2 $2\times 2$分割表
• 4.1.3 相似検定
• 4.1.4 $I\times J$分割表

4.2 マルコフ基底

• 4.2.1 マルコフ基底
• 4.2.2 マルコフ基底の例
• 4.2.3 マルコフ基底とイデアル

4.3 実験計画法とマルコフ基底

• 4.3.1 2水準実験
• 4.3.2 組合せ配置データの解析
• 4.3.3 一部実施計画データの解析

4.4 研究課題

• 4.4.1 3元分割表の無3因子交互作用のマルコフ基底に関する話題
• 4.4.2 マルコフ基底の計算アルゴリズムとその改良に関する話題
• 4.4.3 実験計画データのモデリングに関する話題

参考文献

第5章 凸多面体とグレブナー基底

5.1 凸多面体

• 5.1.1 凸多面体，凸多面錐
• 5.1.2 凸多面体の面
• 5.1.3 多面体的複体，扇

5.2 イニシャルイデアル

• 5.2.1 イニシャルイデアル
• 5.2.2 重みベクトルと単項式順序
• 5.2.3 普遍グレブナー基底

5.3 グレブナー扇とステイト多面体

• 5.3.1 単項イデアルのグレブナー扇
• 5.3.2 斉次イデアルのグレブナー扇とステイト多面体

5.4 トーリックイデアルのステイト多面体

• 5.4.1 サーキット集合と Graver 基底
• 5.4.2 次数の上限
• 5.4.3 Lawrence 持ち上げ
• 5.4.4 ステイト多面体の計算法

5.5 凸多面体の三角形分割とグレブナー基底

• 5.5.1 単模三角形分割
• 5.5.2 正則三角形分割
• 5.5.3 イニシャル複体
• 5.5.4 2次多面体とステイト多面体

5.6 配置行列に纏わる環論的性質と三角形分割

• 5.6.1 辞書式三角形分割と単模配置行列
• 5.6.2 逆辞書式三角形分割と圧搾配置行列
• 5.6.3 トーリック環の正規性

5.7 配置行列の例

• 5.7.1 有限グラフに付随する配置
• 5.7.2 分割表に付随する配置行列

参考文献

第6章 微分作用素環のグレブナー基底とその応用

6.1 有理式係数の微分作用素環 $R$ におけるグレブナー基底

6.2 $R$ の0次元イデアルと Pfaffian 方程式

6.3 Pfaffian 方程式の解

6.4 ホロノミック関数

6.5 ホロノミック関数に対する勾配降下法

6.6 多項式係数の微分作用素環 $D$ におけるグレブナー基底

6.7 フィルター付けと重みベクトル

6.8 ホロノミック系

6.9 $D$ と $R$ の関係

6.10 積分アルゴリズム

6.11 積分で定義される関数の最小値問題

6.12 $A$-超幾何系

6.13 おわりに

参考文献

ホロノミック勾配降下法についてのvideo講義録

• 高山による講義(2011.07.29): 7/29 .

第7章 例題と解答

ソフトウェアに関する注意

• 用いるソフトウェア
• バージョンについて
• 入出力の表示
• 付属プログラムについて

7.2 マルコフ基底と実験計画法: 例題と解答

• 7.2.1 分割表の条件付検定 (4.1 節)
• 7.2.2 マルコフ基底 (4.2 節), 4ti2 (Movie, 9分43秒)
• 7.2.3 実験計画法とマルコフ基底 (4.3 節)

7.3 凸多面体とグレブナー基底: 例題と解答

• 7.3.1 凸多面体 (5.1 節), polymake (Movie, 6分20秒)
• 7.3.2 イニシャルイデアル (5.2 節)
• 7.3.3 グレブナー扇とステイト多面体 (5.3 節), gfan (Movie, 6分49秒)
• 7.3.4 トーリックイデアルのステイト多面体 (5.4 節)
• 7.3.5 凸多面体の三角形分割とグレブナー基底 (5.5 節), topcom (Movie, 13分48秒)
• 7.3.6 配置行列にまつわる環論的性質と三角形分割 (5.6 節)
• 7.3.7 配置行列の例 (5.7 節)

7.4 微分作用素環のグレブナー基底とその応用: 例題と解答

• 7.4.1 $R$ におけるグレブナー基底 (6.1 節)
• 7.4.2 $R$ の $0$ 次元イデアルと Pfaffian 方程式 (6.2 節)
• 7.4.3 Pfaffian 方程式の解(6.3 節)
• 7.4.4 ホロノミック関数(6.4 節)
• 7.4.5 ホロノミック関数に対する勾配降下法(6.5 節)
• 7.4.6 $D$ におけるグレブナー基底(6.6 節)
• 7.4.7 ホロノミック系(6.8 節)
• 7.4.8 $D$ と $R$ の関係(6.9 節)
• 7.4.9 積分アルゴリズム(6.10 節)
• 7.4.10 積分で定義される関数の最小値問題(6.11 節)

参考文献

全体を通しての参考文献, 参考web 等