このマニュアルでは, asir-contrib パッケージに収録されている, matrix 1F1 が対角領域上で満たす微分方程式系を計算するパッケージ `n_wishartd.rr' について解説する. このパッケージを使うには, まず `n_wishartd.rr' をロードする.
[...] load("n_wishartd.rr");
このパッケージの函数を呼び出すには, 全て n_wishartd.
を先頭につける.
n_wishartd.diagpf
[2649] Z=n_wishartd.diagpf(5,[[1,3],[4,5]]); [ [[[[-1,[]]],(1)*<<0,0,0,0,3,0>>], [[[-2,[[y1-y4,1]]],[-2,[[y4,1]]]],(1)*<<0,1,0,0,1,0>>], [[[9/2,[[y1-y4,1]]],[-3*c+11/2,[[y4,1]]],[3,[]]],(1)*<<0,0,0,0,2,0>>], ... [[[-6*a,[[y1-y4,1],[y4,1]]],[(4*c-10)*a,[[y4,2]]],[-4*a,[[y4,1]]]], (1)*<<0,0,0,0,0,0>>]], [[[[-1,[]]],(1)*<<0,4,0,0,0,0>>], [[[-6,[[y1-y4,1]]],[-6*c+10,[[y1,1]]],[6,[]]],(1)*<<0,3,0,0,0,0>>], [[[5,[[y1-y4,1]]],[-5,[[y1,1]]]],(1)*<<0,2,0,0,1,0>>], ... [[[21*a,[[y1-y4,2],[y1,1]]],[(36*c-87)*a,[[y1-y4,1],[y1,2]]], [-36*a,[[y1-y4,1],[y1,1]]],[(18*c^2-84*c+96)*a,[[y1,3]]], [-9*a^2+(-36*c+87)*a,[[y1,2]]],[18*a,[[y1,1]]]],(1)*<<0,0,0,0,0,0>>]] ]
n_wishartd.message
n_wishartd.prob_by_hgm
[...] n_wishartd.message(1)$ [...] P=n_wishartd.prob_by_hgm(10,100,[9,1],[1/100,1],100|eps=10^(-6)); ... [x0=,8/25] Step=10000 [0] [8.23700622458446e-17,8.23700622459772e-17] ... Step=1280000 [0][100000][200000][300000]...[900000][1000000][1100000][1200000] [0.516246820120598,0.516246820227214] [log ratio=,4.84611265040128] Step=2560000 [0][100000][200000][300000]...[2200000][2300000][2400000][2500000] [0.516246912003845,0.516246912217004] [log ratio=,4.93705929488356] [diag,18.6292,pfaffian,1.09207,ps,41.0026,rk,213.929] 0.516246912217004 266.4sec + gc : 8.277sec(276.8sec)
n_wishartd.prob_by_ps
[...] Q=n_wishartd.prob_by_ps(10,100,[9,1],[1/100,1],1/2); ... [I=,109,act,24.9016,actmul,0,gr,19.7852] 2.69026137621748e-165 61.69sec + gc : 2.06sec(64.23sec) [...] R=n_wishartd.prob_by_hgm(10,100,[9,1],[1/100,1],1/2|td=50); [diag,15.957,pfaffian,1.00006,ps,5.92437,rk,1.29208] 2.69026135182769e-165 23.07sec + gc : 1.136sec(24.25sec)
n_wishartd.ps
[...] Z=n_wishartd.diagpf(10,[[1,5],[6,10]])$ [...] Z0=subst(Z,a,(10+1)/2,c,(10+100+1)/2)$ [...] PS=n_wishartd.ps(Z0,[y1,y6],10)$ [...] PS[0]; 197230789502743383953639/230438384724900975787223158176000*y1^10+ ... +(6738842542131976871672233/1011953706634779427957034268904320*y6^9 ...+3932525/62890602*y6^2+1025/4181*y6+55/111)*y1 +197230789502743383953639/230438384724900975787223158176000*y6^10 +...+1395815/62890602*y6^3+3175/25086*y6^2+55/111*y6+1
matrix 1F1 が満たす微分方程式の係数は 1/yi, 1/(yi-yj) の定 数倍の和として書かれている. さらに, ロピタル則を用いた対角領域への制限 アルゴリズムの結果も同様に部分分数の和として書ける.
前節の部分分数を用いて, それらを係数とする微分作用素が表現できる. f1,...,fk を部分分数の表現, d1,...,dk を分散表現単項式 (現 在設定されている項順序で d1>...>dk) とするとき, 微分作用素 f1*d1+...+fk*dk が[f1,d1],...[fk,dk]]で表現される.
n_wishartd.wsetup
n_wishartd.addpf
n_wishartd.mulcpf
n_wishartd.mulpf
n_wishartd.muldpf
[...] n_wishartd.wsetup(4)$ [...] P=n_wishartd.wishartpf(4,1); [[[[1,[]]],(1)*<<0,2,0,0,0>>],[[[1/2,[[y1-y2,1]]],[1/2,[[y1-y3,1]]], ...,[[[-a,[[y1,1]]]],(1)*<<0,0,0,0,0>>]] [...] Q=n_wishartd.muldpf(y1,P); [[[[1,[]]],(1)*<<0,3,0,0,0>>],[[[1/2,[[y1-y2,1]]],[1/2,[[y1-y3,1]]], ...,[[[a,[[y1,2]]]],(1)*<<0,0,0,0,0>>]]
n_wishartd.ps_by_hgm
では, パフィアン行列を計算したあと, 与えられたステップ数で
Runge-Kutta 法を実行して近似解の値を計算する組み込み関数 rk_ratmat
を実行している.
この関数を, 値が与えられた精度で安定するまでステップ数を2倍しながら繰り返して実行する.
rk_ratmat
自体, ある程度汎用性があるので, ここでその使用法を解説する.
rk_ratmat
rk_ratmat
を実行し, 前項の結果に f0 の第 0 成分をかければ
よい.
[...] F=ltov([sin(1/x),cos(1/x),sin(1/x^2),cos(1/x^2)]); [ sin((1)/(x)) cos((1)/(x)) sin((1)/(x^2)) cos((1)/(x^2)) ] [...] F0=map(eval,map(subst,F,x,1/10)); [ -0.54402111088937 -0.839071529076452 -0.506365641109759 0.862318872287684 ] [...] N0=matrix(4,4,[[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,-2],[0,0,2,0]])$ [...] N1=matrix(4,4,[[0,-1,0,0],[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0]])$ [...] N=ltov([N0,N1])$ [...] D=x^3$ [...] R=rk_ratmat(5,N,D,1/10,10,10^4,F0)$ [...] for(T=R,A=1;T!=[];T=cdr(T))A *=car(T)[1]; [...] A; 0.0998334 [...] F1=map(eval,map(subst,F,x,10)); [ 0.0998334166468282 0.995004165278026 0.00999983333416666 0.999950000416665 ]
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