Sectie 2.6
Oefeningen



Opgave



Opgave
De decimale schrijfwijze van een getal is abcabc. Hierbij zijn a, b en c elementen uit {0, 1,. . . ,9}. Bewijs dat 7, 11 en 13 delers zijn van abcabc.

Opgave
Bewijs dat n4 + n2 +1 deelbaar is door 3 als n>0 niet deelbaar is door 3.

Opgave
Is de omkering van Fermat's Kleine Stelling, `als xp-1 = 1 mod p voor alle x, met x ongelijk 0 mod p, dan is p een priemgetal' ook waar?

Opgave
Toon elk van de volgende beweringen aan:



Opgave
Bepaal de multiplicatieve inversen van de aangegeven elementen of laat zien dat deze inverse niet bestaat.



Opgave
Laat c Z/nZ een multiplicatieve inverse hebben. Bewijs dat a = b mod n dan en slechts dan als ca=cb mod n.

Opgave
Los de volgende vergelijkingen op:



Opgave
Los het volgende stelsel op:

2x = 37 mod 5 en 3x = 48 mod 7

Opgave
Los het volgende stelsel op:

x+y = 6 mod 11 en 2x-y = 8 mod 11

Opgave
Fermat vermoedde dat getallen van de vorm 22n+1 priem zijn. Voor n =5 blijkt het vermoeden niet waar. Toon dit met behulp van de volgende gegevens aan. Er geldt 641=29 +27 +1 en dus 27 (22 +1)= -1 mod 641. Verder is 54 = -24 mod 641. Toon nu aan dat 641 | (225 + 1).

Opgave
Beschrijf de functie f die aan twee getallen x en y het getal f(x,y) [0,xy-1] toevoegt met en f(x,y)= y mod 25.

Opgave
Bewijs: als p een priemgetal is en 0<k<p, dan is p een deler van de binomiaalcoëfficiënt

p
k
Laat verder zien dat voor alle x,y Z/pZ geldt: (x+y)p = xp +yp.

Opgave
Wat zijn inverteerbare elementen van Z/4Z, Z /6Z en Z/12Z? Laat p een priemgetal zijn. Wat zijn de inverteerbare elementen van Z/p2Z?

Opgave
Bewijs dat er geen gehele getallen x, y, z zijn die voldoen aan x3 +y3 +z3 =5. [Hint: reken modulo 9.] Leg een lijst aan van de positieve waarden die deze uitdrukking kan aannemen onder de 30. Opmerking: of 30 voorkomt is nog onbekend (dd. november 1997).

Opgave



Opgave
De Toy autofabrieken leveren elke 11 minuten een auto (de ``Corollarium'') af. De fabriek start op een middernacht van zondag op maandag. De directeur wil graag een duizendvoud geproduceerde Corollarium's vieren op het moment dat de bewuste auto van de band rolt. Hij wil echter de champagne alleen op de werkvloer laten aanrukken als het vrijdagmiddag tussen 3 en 5 uur is. Hoeveel dagen na de start, en hoe laat, doet zich de eerste gelegenheid voor?



Opgave
Zij n N.