Als g, d veeltermen zijn en
S=R[X]/(d),
dan heeft g(
) betekenis
in S. In het bijzonder, als d=g en
=X+(g),
dan is g(
)=0 in S.
Zo is S een lichaam geworden waarin g een nulpunt heeft.
Decoderen
Het is natuurlijk van belang bij een codewoord de corresponderende
informatievector terug te vinden. Dit gebeurt met behulp van de veelterm
h. Voor een codewoord c=( c0, . . . , cn-1)
C kunnen we het element c = c0+ c1
X +· · · + cn-1 Xn-1
S vormen; hier is de veelterm
c= c0+ c1X+· ·
· + cn-1Xn-1 een
representant van c mod g. Als c afkomstig is van de
informatievector a met bijbehorende veelterm a, dan is c=ag+m(X)
voor zekere m
(Xn+
1 )(Z/2Z)[X]. De graad van c en van ag
is ten hoogste n-1. Derhalve is de graad van m(X) eveneens
ten hoogste n-1 en dus m=0. Dit leidt tot de volgende relatie
tussen c en a. Vermenigvuldig c met h. De veelterm
die zo ontstaat is gelijk aan ch=agh=a(Xn+
1 )=a+Xn a. De informatievector die bij
het codewoord c hoort, vinden we dus door het element van minimale
graad in ch+(Xn) op te sporen.
Door het geschikt kiezen van de voortbrengende veelterm kunnen codes gemaakt worden die meerdere fouten verbeteren. Meer hierover leert u bij colleges over coderingstheorie.