Sectie 1.6
Oefeningen



Opgave Bepaal met behulp van het (uitgebreide) algoritme van Euclides de ggd van elk van de volgende paren getallen en schrijf deze ggd als lineaire combinatie van de gegeven getallen:

  1. 480, 175;
  2. 5621, 219;
  3. 983675, 105120.

Probeer de ggd's ook met behulp van priemfactorontbindingen te bepalen.

(klik hier voor een gedeeltelijke oplossing)


Opgave
Toon aan dat voor alle positieve natuurlijke getallen x, y, z geldt ggd(zx,zy) = z ggd(x,y).

Opgave
Laat a, b gehele getallen zijn.

  1. Bewijs dat a-b | a2-b2.
  2. Laat zien dat er een geheel getal x is zo dat (a-b)(a2+ab+x)=a3-b3. Concludeer dat a-b | a3-b3.
  3. Voor welke positieve gehele n deelt a-b het getal an-bn?
  4. Laat zien dat a+b | a2n+1+b2n+1, voor positieve gehele n.
  5. Bepaal de priemfactorontbinding van 510-210.



Opgave
Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen van de vorm 4n+3 zijn. Gebruik een zelfde soort redenering als in het bewijs van de stelling over het aantal priemgetallen: bekijk getallen van de vorm 4(p1 ··· pr)+3.

Opgave
Als c een gemeenschappelijk veelvoud is van a en b, dan is c een veelvoud van kgv(a,b). Bewijs dit.

Opgave
Voor welke positieve gehele n is n2 -1 een priemgetal?

Opgave
Welke getallen van de vorm 13p+1 (met p priem) zijn een kwadraat?

Opgave
Bewijs: Als a en b gehele getallen zijn, niet beide gelijk aan 0, en c = ggd(a,b), dan is c = min{xa+yb | xa+yb>0, x, y Z}.

Opgave
Bewijs dat de derdemachtswortel van 17 geen rationaal getal is.