Oefeningen


Opgave
  • Deelbaarheid door 4 van een getal dat in het tientallig stelsel is uitgeschreven kan als volgt getest worden: het getal is deelbaar door 4 dan en slechts dan als het getal gevormd door de laatste twee cijfers deelbaar is door 4. Laat dit zien.
  • Formuleer een 8--proef voor decimaal uitgeschreven getallen. Hoe ziet men aan een tweetallig uitgeschreven getal of het deelbaar is door 8?
  • Formuleer en bewijs een test voor deelbaarheid door a-1 in het a-tallig stelsel.



Opgave
De decimale schrijfwijze van een getal is abcabc. Hierbij zijn a, b en c elementen uit { 0, 1,. . . ,9}. Bewijs dat 7, 11 en 13 delers zijn van abcabc.

Opgave
Bewijs dat n4 + n2 +1 deelbaar is door 3 als n>0 niet deelbaar is door 3.

Opgave
Is de omkering van Fermat's stelling, `als xp-1= 1 mod p voor alle x, met x ongelijk 0 mod p}, dan is p een priemgetal' ook waar?

Opgave
Toon elk van de volgende beweringen aan:

  • 13 | 106 -1.
  • 17 | 108 +1.
  • Als n 0 mod 5, dan is n4 +64 geen priemgetal.
  • Het getal 21000+5 is niet priem. [Hint : reken modulo 3.]
  • Voor elke n>0 is 3 een deler van 22n-1.



Opgave
Bepaal de multiplicatieve inversen van de aangegeven elementen of laat zien dat deze inverse niet bestaat.

  • \ov{3} Z/37Z.
  • \ov{4} Z/14Z.



Opgave
Laat c Z/nZ een multiplicatieve inverse hebben. Bewijs dat \ov{a}=\ov{b} dan en slechts dan als \ov{c}·\ov{a}=\ov{c}·\ov{b}.

Opgave
Los de volgende vergelijkingen op:

  • 2x= 37 mod 21.
  • 5x = 15 mod 25.
  • 3x = 7 mod 18.



Opgave
Los het volgende stelsel op:

2x= 37 mod 5 en 3x= 48 mod 7

Opgave
Los op het volgende stelsel op:

x+y =6 mod 11
x-y = 8 mod 11

Opgave
Fermat vermoedde dat getallen van de vorm 2^{2^n}+1 priem zijn. Voor n =5 blijkt het vermoeden niet waar. Toon dit met behulp van de volgende gegevens aan. Er geldt 641=29 +27 +1 en dus 27 (22 +1)= -1 mod 641. Verder is 54 = -24 mod 641. Toon nu aan dat 641 | 2^{2^5} +1.

Opgave
Beschrijf de functie f die aan twee getallen x en y het getal f(x,y) [0,xy-1] toevoegt met en f(x,y)= y mod 25.

Opgave
Bewijs: als p een priemgetal is en 0<k<p, dan is p een deler van de binomiaalcoëfficiënt {p\choose k} . Laat verder zien dat voor alle x,y Z /pZ geldt: (x+y)p =xp +yp .

Opgave
Wat zijn inverteerbare elementen van Z/4Z, Z /6Z en Z/12Z? Laat p een priemgetal zijn. Wat zijn de inverteerbare elementen van Z/p2Z?

Opgave
Bewijs dat er geen gehele getallen x,y,z zijn die voldoen aan x3 +y3 +z3 =5. [Hint : reken modulo 9.] Leg een lijst aan van de positieve waarden die deze uitdrukking kan aannemen onder de 30. Opmerking: of 30 voorkomt is nog onbekend (november 1995).

Opgave

  • Schrijf 377 in het 2-tallig, 8-tallig en het 16-tallig stelsel.
  • Schrijf 301 in het 7-tallig stelsel.
  • Het getal a wordt 7-tallig geschreven als 3456142. Is dit getal deelbaar door 6? Hint : hoe kun je deelbaarheid door 9 testen in het tientallig stelsel?
  • Laat zien dat je een getal in het 2-tallig stelsel eenvoudig kunt omschrijven naar een getal in het 16-tallig stelsel (en vice versa).



Opgave
De Toy autofabrieken leveren elke 11 minuten een auto (de ``Corollarium'') af. De fabriek start op een middernacht van zondag op maandag. De directeur wil graag een duizendvoud geproduceerde Corollarium's vieren op het moment dat de bewuste auto van de band rolt. Hij wil echter de champagne alleen op de werkvloer laten aanrukken als het vrijdagmiddag tussen 3 en 5 uur is. Hoeveel dagen na de start, en hoe laat, doet zich de eerste gelegenheid voor?

Opgave
Laat p, k en m natuurlijke getallen zijn. Bewijs: als p priem is en m niet deelt, dan deelt p ook \pmatrix{p^km\cr p^k\cr} niet. [Hint : bepaal de ordp van \pmatrix{p^km\cr p^k\cr}.]

Opgave
Zij n N.

  • Laat zien, dat de decimale ontwikkeling van 1/n eindig is dan en slechts dan als de priemdelers van n gelijk aan 2 of 5 zijn.
  • Neem aan dat n een priemdeler ongelijk aan 2 of 5 heeft. Toon aan dat de decimale ontwikkeling van 1/n repeteert. (Bijvoorbeeld 1/7=0,14285714285714285714 . . . heeft periode 6.)
  • Neem aan dat n priem is, dat 1/n een repeterende decimale ontwikkeling heeft en dat de lengte van het repeterende deel even is. Zij het repeterende deel gelijk aan x1 . . . x2m. Laat zien dat
    (x1 . . . xm)10+(xm+1 . . . x2m)10=10m-1.

    (In het voorbeeld voor n =7 vinden we dat het repeterende deel gelijk is aan 142857, en dat 142+857=999.) [Hint : reken modulo 10.]
  • Laat zien dat het vorige onderdeel niet langer waar hoeft zijn als we de voorwaarde achterwege laten dat n priem is. [Hint: neem n =33.]






Test