Bewijs
Eerst bewijzen we dat I goed gedefinieerd is. Dan laten we zien dat I bijectief is, wat neer komt op een bewijs van injectiviteit en van surjectiviteit.

Eerst laten we zien dat I goed gedefinieerd is. Laat a0 + a1X + ··· + amXm en b0 + b1X + ··· + bmXm twee veeltermen zijn die congruent zijn modulo n (volgens de afspraak uit Hoofdstuk 3 mogen we de hoogste macht van een monoom in zowel a als b gelijk  m veronderstellen). Dan geldt dat ai en bi een n-voud verschillen voor i = 0, 1, . . . , m. Maar dit betekent dat ai = bi mod n voor i = 0, 1, . . . , m. Onze definitie hangt dus niet af van de gekozen representant.

Om de bijectiviteit van I te bewijzen, moeten we injectiviteit en surjectiviteit aantonen.

Injectiviteit: als I(a0 + a1X + ··· + amXm + (n)) = I(b0 + b1X + ··· + bmXm + (n)), dan is ai = bi mod n voor i = 0, . . . , m. Dat impliceert dat n | (ai - bi) voor elke i en dus dat a0 + a1X + ··· + amXm en   b0 + b1X + ··· + bmXm congruent modulo n zijn. Laat a = a0 + a1X + ··· + amXm een representant van zijn en b = b0 + b1X + ··· + bmXm een representant van . Dan geldt: I( + ) = a0+b0 + (a1+b1)X + ··· + (am+bm)Xm, (tel eerst en op volgens de definitie en pas dan het voorschrift van I toe) terwijl I() + I() = (a0 + a1X + ··· + amXm) + (b0 + b1X + ··· + bmXm). Hieruit volgt de gelijkheid onmiddellijk.

Surjectiviteit: als a0 + a1X + ··· + amXm  in (Z/nZ)[X], dan is  I(a0 + a1X+ · · · + amXm + (n)) = a0 + a1X + ··· + amXm.

De bewijzen van de overige beweringen laten we aan de lezer over.