Bewijs
1. Uit = 1 ·
volgt
![]() ![]() ![]() |
=(1+1+ ··· +1) ![]() |
=0·![]() |
(p termen) | (p termen) |
2. Het binomium van Newton levert
(+
)p=
i=0p
( pi)
i
p-i
=
p
+
p
omdat ( pi) deelbaar is door p als 0 <i <p.
3. Omdat S precies q elementen bevat, bestaat S\{0}
uit q-1 elementen, zeg 1,
2, ... ,
q-1.
Als
een van deze elementen
is, dan geldt {
1,
2, ... ,
q-1}
= {
1,
2,
... ,
q-1}.
Bekijk, om dit in te zien, vermenigvuldiging met
op S\ {0}, dat wil zeggen de afbeelding S\{0} -> S\{0},
x ->
x. We laten zien dat deze afbeelding injectief is: als
x =
y, dan ook
x = (
-1
)
x =
-1(
x) =
-1(
y) =(
-1
)
y=y. Omdat vermenigvuldiging met
op de eindige verzameling S\{0} injectief is, is het een bijectie.
Vandaar de gelijkheid.
Voor het product P over alle elementen van S\{0} geldt
nu: P = P. Immers,
i=1q-1
i =
i=1q-1
(
i)
=
q-1
i=1q-1
i.
Omdat P een product van elementen ongelijk 0 is, is P
ongelijk 0 in S. De afgeleide gelijkheid geeft q-1
P = P ofwel (1-
q-1)P
= 0. Omdat P niet 0 is, is het inverteerbaar en volgt 1-
q-1=0,
ofwel
q-1=1.
Vermenigvuldiging met
geeft
q =
als in de bewering.
Rest het bewijs voor =0;
dit wordt aan de lezer overgelaten.