Bewijs
Hier moeten we wel nagaan dat de definities consistent zijn. Immers, als x=x' mod n en y=y' mod n, dan is bijvoorbeeld voor consistentie van de eerste definitie vereist dat x+y=x'+y' mod n: de uitkomst van de optelling mag niet afhangen van de gekozen representanten.

Welnu, x=x' mod n (respectievelijk y= y' mod n) betekent dat er een geheel getal a (respectievelijk b) bestaat zo dat x-x'=na (respectievelijk y-y'=nb). Hieruit volgt

(x+y)-(x'+y')=(x-x')+(y-y')=na +nb=n(a+b),

dat wil zeggen:

x+y=x'+y' mod n

Nu de vermenigvuldiging. Met dezelfde notaties als boven vinden we:

x y-x' y'=x (y-y')+(x-x') y' =nbx+nay'=n(bx+ay').

Dus

xy=x'y' mod n.