Voorbeeld
-
Laat d = X2 + 1 in de
veeltermring R[X]. Het element
= X+(d)
uit R[X]/(d) is inverteerbaar:
er geldt namelijk in R[X]/(d) dat
X · -X = -X2 =
1.
Dus de inverse van
is
-X.
Het element X3
R[X]/(d) blijkt inverteerbaar.
Om de inverse te bepalen maken we gebruik van de ggd. Uit het uitgebreide
ggd-algoritme halen we de gelijkheid X ·
X3 + (1 - X2)(X2
+ 1) = 1. Hieruit volgt door op restklassen modulo
X2 + 1 over te gaan: X ·
X3 + 1 - X2 ·
X2 + 1 = 1. Omdat X2 + 1 = 0 vinden we
X · X3 = 1. Dus een inverse van
X3 is X.
Uiteraard kunnen we ook eerst een representant van
X3 zoeken
van graad kleiner dan 2 en daarmee verder werken.
-
Het element X in Q[X]/(X2)
is niet inverteerbaar. Immers, voor geen enkele veelterm
a is Xa - 1 deelbaar door
X2. Met andere woorden, er is geen a
met X · a = 1.