Inversen met behulp van het uitgebreide algoritme van Euclides
De methode die we geschetst hebben in het voorbeeld bij de vorige
definitie is bruikbaar in de volgende situatie. Veronderstel dat
we willen rekenen modulo d R[X]. Zij
een element van
R[X]/(d) met representant a. Als we een relatie pa +
qd = 1 kunnen opsporen, dan vinden we door op
restklassen modulo d over te gaan en gebruik te maken
van d =
dat
p · a = 1. Een inverse van a is dus
p.
Het uitgebreide algoritme van Euclides
levert een methode om a (en b) te vinden.
StellingLaat R een lichaam en d, a twee veeltermen in R[X] zijn. De restklasse a+(d) een inverse in R[X]/(d) dan en slechts dan als ggd(a,d)=1. |
Met behulp van deze stelling kunnen we nieuwe lichamen maken.
CorollariumLaat R een lichaam en d een irreducibele veelterm in R[X] zijn. Dan is S = R[X]/(d) een lichaam: elk element ongelijk nul in S heeft een inverse. |
Als R = Z/pZ, dan is S
eindig. In de volgende paragraaf gaan we nader op deze situatie
in.