Matrixbenadering
De overgang van het tweetal ai-1, ai naar ai, ai+1 kan handig weergegeven worden in matrixnotatie:

\[ \left(\begin{array}{c} a_i \\ a_{i+1}\end{array}\right) =  \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\                               1 &-q_i \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} a_{i-1} \\ a_i\end{array}\right).  \]

Schrijf nu

\[ A_i =\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\                               1 &-q_i \end{array}\right) ,\quad B=A_n A_{n-1} \cdots A_1  .  \]

Herhaald toepassen van bovenstaande matrixvergelijking levert:

\[ \begin{array}{rl} \left(\begin{array}{c} {\rm ggd} (a,b) \\ 0\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{c} a_n \\ a_{n+1}\end{array}\right) \\ &= A_n \left(\begin{array}{c} a_{n-1} \\ a_n\end{array}\right)  = A_nA_{n-1}\left(\begin{array}{c} a_{n-2} \\ a_{n-1}\end{array}\right) =\\ & \vdots \\ & =  A_n \cdots A_1\left(\begin{array}{c} a_0 \\ a_1\end{array}\right) =  B \left(\begin{array}{c} a \\ b\end{array}\right). \end{array}  \]


De rijen van B
Met Bij geven we de i,j-coëffiënt van B aan. Door het laatste matrixproduct uit te schrijven zien we: ggd (a,b) =B11a +B12 b en 0=B21a +B22 b. De eerste vergelijking geeft ons x=B11 en y=B12 zoals gezocht. De eerste rij van B geeft dus een oplossing x,y van xa+yb= ggd(a,b). Door a en b op te vatten als onbekenden in deze twee vergelijkingen en ggd(a,b) als gegeven grootheid, vinden we

\[ a=\frac{B_{22} \cdot{\rm ggd} (a,b)}{\det (B)}, \quad b=\frac{-B_{21}\cdot{\rm ggd} (a,b)}{\det (B)} .  \]

Nu is echter

det (B)=det (An )· · · det (A1 ) =(-1)n.

Dus

a=(-1)nB22· ggd (a,b)

en

b=(-1)n+1 B12· ggd (a,b) .

De tweede rij van B geeft ons dus, op het teken na, welke veelvouden van de ggd a en b zijn.


Opgave
Ga na dat de matrix B ook als volgt, met de notatie van het uitgebreide algoitme van Euclides, bepaald kan worden:

\[ \left(\begin{array}{ll} x_n & y_n\\ x_{n+1}& y_{n+1} \end{array}\right).  \]

Definieer

\[ \overline{v}_0 =\left( 1,0\right) ,\quad \overline{v}_1 =\left(0,  1\right)\quad \mbox{en vervolgens }\quad \overline{v}_i =\overline{v}_{i-2}-q_{i-1} \overline{v}_{i-1} .  \]

Dan is

\[ \overline{v}_{n} =\left( B_{11}, B_{12} \right) \quad \mbox{en}\quad \overline{v}_{n+1} =\left( B_{21}, B_{22} \right) .  \]

Voorbeeld
We bepalen nogmaals de ggd van a=371 en b=119, en een relatie van de vorm x· a +y· b= ggd (a,b). De berekening van B met bovenstaande methode gaat als volgt:

\[ A_1 =\left(\begin{array}{cc} 0&1\\ 1&-3 \end{array}\right) , \quad A_2 =\left(\begin{array}{cc} 0&1\\  1&-8 \end{array}\right) , \quad A_3 =\left(\begin{array}{cc} 0&1\\  1&-2 \end{array}\right)  \]

met product

\[ B=A_3A_2A_1 = \left(\begin{array}{cc}-8& 25\\ 17&-53 \end{array}\right)  .  \]

Uit de eerste rij:

(-8)·371 +25 · 119 =7.

Uit de tweede rij lezen we af:

371=53· 7 en 119=17· 7.

Mathematica programma voor uitgebreide ggd