Het bestaan van veeltermen q(X) en r(X)
zoals in de uitspraak van de stelling.
Dit bewijzen we met inductie naar de graad n van a(X).
Laat m de graad van b(X) zijn. Als n < m,
dan nemen we q(X)=0, r(X)=a(X).
We mogen dus aannemen dat n m. In het bijzonder, a(X)
0. Als a(X) een constante is (dus n = 0), dan
ook m=0 en kunnen we q(X)=a/b en r=0 nemen. Veronderstel
nu n>0 en (de inductiehypothese) dat het bestaan van veeltermen q(X),
r(X) bewezen is voor veeltermen a(X) waarvan
de graad kleiner is dan n. Laat nu
a(X) = a0 + a 1 X+ · · · + an Xn ,
met an
0 en laat
b(X) = b0 +b1 X+ · · · +b m X m
met b m
0. De graad van a(X)-(a n / b m
)b(X)Xn-m is kleiner dan n. Op grond
van de inductiehypothese zijn er dus veeltermen q1 (X)
en r (X) met
a(X)-( an / bm )Xn-mb(X)=q1 (X)b(X) +r (X), deg (r (X)) < m.
Maar dan geldt
a(X)=q(X) b(X)+r(X), deg (r (X)) < m,
waarbij q(X)=q1 (X)+(an /bm )Xn-m.
De uniciteit.
Veronderstel dat a(X)=q(X)b(X)+r(X)
en a(X)=q1(X)b(X)
+r1(X) twee schrijfwijzen zijn als in de stelling.
Neem het verschil van de twee uitdrukkingen:
(q(X)-q1(X))b(X) = r1(X)-r(X).
Hieruit volgt, met behulp van bovenstaande,
deg(q(X)-q1(X))+deg b(X) = deg ( (q(X)-q1(X))b(X) )
= deg ( r1(X)-r(X) )
< deg b(X),
zodat deg(q(X)-q1(X)) < 0.
Dit kan alleen als q(X)-q1(X)=0
en dus r1(X)=r(X).