Delen van veeltermen



Voor de veeltermring R [X], waar R=Q, R, C of Z/pZ, met p priem, introduceren we -- geheel analoog aan de situatie bij gehele getallen -- begrippen deler, gemene deler, veelvoud, gemeen veelvoud. Echter, de definities van grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud vereisen een aanpassing. Gehele getallen kunnen we namelijk in grootte vergelijken, maar voor veeltermen moeten we nog afspreken hoe we dat doen. We gebruiken als groottemaat de graad van een veelterm.

Definitie
Als a(X)=a 0 + a 1 X + · · · + a n Xn een veelterm is uit R[X] met a n 0, dan noemen we a n de kopcoëfficiënt van a(X) en n de graad van de veelterm a(X). Zijn alle coëfficiënten van een veelterm gelijk aan 0 (de nulveelterm ), dan is de graad per definitie gelijk aan -oneindig. We noteren de graad van de veelterm a(X) als deg (a(X)) (deg van degree).

Voorbeeld
De verzameling veeltermen Q [X] vormt een vectorruimte over Q (scalaire vermenigvuldiging met q Q wordt gedefinieerd als vermenigvuldiging met de constante veelterm q). Deze vectorruimte is oneindigdimensionaal. Zij nu m een positief geheel getal. De veeltermen uit Q [X] van graad < m vormen een eindigdimensionale vectorruimte van dimensie m. Een basis vormen de m monomen 1,X, . . . ,Xm-1.

Opgave
Bewijs, voor veeltermen p(X) en q(X),

deg (p(X)+q(X)) max { deg p(X),deg q(X) },

en

deg (p(X)q(X)) =deg p(X) +deg q(X).

Laat zien dat de gelijkheid in de laatste regel niet altijd geldt als de coëfficiënten uit Z/nZ zouden komen, voor n een geheel getal dat samengesteld is (dat wil zeggen, het product van tenminste twee getallen groter dan 1).

Definitie
Als a(X),b(X) \in R [X], dan is b(X) een deler van a(X) (of a(X) een veelvoud van b(X), of a(X) deelbaar door b(X), of b(X) een factor van a(X)) als er een veelterm q(X) Q [X] is met a(X)=q(X)b(X). We noteren b(X) | a(X) als b(X) een deler is van a(X) en b(X)\not\, | a(X) als b(X) geen deler is van a(X). Als b(X) 0 is, heet de veelterm q(X) het quotiënt van a(X) naar b(X) en wordt vaak met a(X)/b(X) genoteerd.

Voorbeeld
De veelterm X2 -1 is een deler van X6 -1, want X6 -1 =(X2 -1)(X4 +X2 +1).


Net als bij gehele getallen is er ook voor veeltermen een delingsalgoritme. Het kan gebruikt worden om de grootste gemene deler van twee veeltermen te bepalen. Hier volgen de details.

Stelling
Zijn a(X) en b(X) twee veeltermen in R [X] met b(X) 0, dan zijn er veeltermen q(X) (het `quotiënt') en r(X) (de `rest') zo dat

a(X) =q(X)b(X) +r(X), deg (r(X) )<deg (b(X)) .

De veeltermen q(X) en r(X) zijn uniek bepaald.

Bewijs
Vergelijk het bewijs trouwens eens met dat van Hoofdstuk 1 .

Het bestaan van veeltermen q(X) en r(X) zoals in de uitspraak van de stelling.
Dit bewijzen we met inductie naar de graad n van a(X). Laat m de graad van b(X) zijn. Als n < m, dan nemen we q(X)=0, r(X)=a(X). We mogen dus aannemen dat n m. In het bijzonder, a(X) 0. Als a(X) een constante is (dus n = 0), dan ook m=0 en kunnen we q(X)=a/b en r=0 nemen. Veronderstel nu n>0 en (de inductiehypothese) dat het bestaan van veeltermen q(X), r(X) bewezen is voor veeltermen a(X) waarvan de graad kleiner is dan n. Laat nu

a(X)=a 0 + a 1 X+ · · · + a n Xn ,

met a n 0 en laat

b(X)=b 0 +b 1 X+ · · · +b m X m

met b m 0. De graad van a(X)-(a n /b m )b(X)Xn-m is kleiner dan n. Op grond van de inductiehypothese zijn er dus veeltermen q 1 (X) en r (X) met

a(X)-(a n /b m )Xn-mb(X)=q 1 (X)b(X) +r (X), deg (r (X)) < m.

Maar dan geldt

a(X)=q(X) b(X)+r(X) , deg (r (X)) < m,

waarbij q(X)=q 1 (X)+(a n /b m )Xn-m.

De uniciteit.
Veronderstel dat a(X)=q(X)b(X)+r(X) en a(X)=q1(X)b(X) +r1(X) twee schrijfwijzen zijn als in de stelling. Neem het verschil van de twee uitdrukkingen:

(q(X)-q1(X))b(X) =r1(X)-r(X).

Hieruit volgt, met behulp van bovenstaande,

deg(q(X)-q1(X))+deg b(X) = deg ( (q(X)-q1(X))b(X) )

= deg ( r1(X)-r(X) )

< deg b(X),

zodat deg(q(X)-q1(X)) < 0. Dit kan alleen als q(X)-q1(X)=0 en dus r1(X)=r(X).

Opmerking
Als de veeltermen a(X) en b(X) uit Z [X] komen, dan zijn de veeltermen q(X),r(X) niet per se afkomstig uit Z [X]. Neem bijvoorbeeld maar a(X)=1 en b(X) = 2.

Met pen en papier bepalen we quotiënt en rest het eenvoudigst met een staartdeling.


Mathematica notebook over delen van veeltermen.


Opgave
Laat a R. Ga na dat de rest van een veelterm f(X) bij deling door X-a de constante f(a) is. In het bijzonder deelt X-a de veelterm f(X) dan en slechts dan als a een nulpunt van f(X) is. Hint : vervang X door a.

Definitie
Een gemene deler (of gemeenschappelijke factor) van de veeltermen a(X), b(X) is een veelterm die zowel a(X) als b(X) deelt. Een gemene deler d(X) heet een grootste gemene deler (ggd) als bovendien elke gemene deler van a(X), b(X) een deler van d(X) is. Het begrip ggd heeft alleen zin als de veeltermen a(X),b(X) niet beide de nulveelterm zijn. Een gemeen veelvoud (of gemeenschappelijk veelvoud) van de veeltermen a(X), b(X) is een veelterm die zowel door a(X) als b(X) deelbaar is. Een kleinste gemene veelvoud van a(X) en b(X) is een gemeen veelvoud van a(X) en b(X) van minimale graad groter gelijk 0.

Opmerking
Een ggd is niet uniek: vermenigvuldigen met een constante 0 levert ook een ggd. Uit de definitie volgt verder natuurlijk dat een ggd maximale graad heeft onder de gemene delers. Omdat elke constante 0 deler is van iedere veelterm, is de graad van een ggd altijd 0.

Propositie
Als c(X) en d(X) twee grootste gemene delers zijn van de veeltermen a(X),b(X) (niet beide de nulveelterm), dan is er een constante q0 zodat qc(X)=d(X).

Bewijs
Uit het gegeven dat c(X) en d(X) beide ggd zijn, volgt dat c(X) | d(X) en dat d(X) | c(X). Er is dus een veelterm e(X) met d(X)=c(X)e(X). Omdat d(X) | c(X) is deg d(X) deg c(X). Dit impliceert dat de graad van e(X) gelijk aan 0 is. Het is dus een constante, uiteraard 0.

We spreken verder af dat de ggd van twee veeltermen a(X),b(X) de unieke veelterm is waarvan de kopcoëfficiënt gelijk is aan 1.

Het algoritme van Euclides voor veeltermen
Het bepalen van de ggd gaat volkomen analoog aan de ggd-bepaling voor gehele getallen (zie Sectie 1.2 ):

a(X) = q 1 (X) b(X) +r 1 (X) en deg r 1 (X) < deg b(X)

b(X) = q 2 (X) r 1 (X) +r 2 (X) en deg r 2 (X) < deg r 1 (X)

...

r n (X) = qn+2(X) rn+1(X) +0

Een grootste gemene deler van a(X) en b(X) is dan de veelterm rn+1(X). Immers, enerzijds vinden we al teruglezend in bovenstaande vergelijkingen achtereenvolgens:

rn+1(X)| r n (X),rn+1(X);

rn+1(X)| r n-1(X) ,rn(X);

. . . ;

rn+1(X)| a(X) ,b(X).

Anderzijds, als c(X) een gemene deler is van a(X) en b(X), dan halen we uit bovenstaande vergelijkingen achtereenvolgens: c(X) | a(X),b(X); c(X) | b(X), r 1 (X); . . . ; c(X) | r n (X) ,rn+1(X). In het bijzonder:

c(X) |rn+1(X).

Net als bij gehele getallen kunnen we veeltermen c(X) en d(X) vinden met c(X) a(X) +d(X) b(X) = ggd (a(X),b(X)) .

Voorbeeld
We bepalen een relatie voor de ggd van X5 -1 en X3 -X2 . De berekening ziet er als volgt uit (van staartdelingen hebben we alleen het resultaat weergegeven):

X5 -1 =(X2 +X +1)· (X3 -X2 ) +X2 -1

X3 -X2 =(X-1)· (X2 -1) +X-1

X2 -1 = (X+1)· (X-1)

en tegelijkertijd houden we bij:

1· (X5 -1) +0· (X3 -X2 ) =X5 -1

0· (X5 -1)+1· (X3 -X2 ) =X3 -X2

1· (X5 -1) +(-X2 -X-1)· (X3 -X2 ) =X2 -1

(1-X)· (X5 -1)+(1+(X-1)(X2 +X+1))·(X3 -X2 ) =X-1

De ggd is dus X-1 en een relatie is (-X+1)· (X5 -1)+X3 · (X3 -X2 ) =X-1

Mathematica notebook over het algoritme van Euclides voor veeltermen.


Ook de matrixbenadering van het uitgebreide ggd voor gehele getallen uit Sectie 1.2 kent een analogon voor veeltermen. De daar beschreven matrices Ai en B kunnen hier net zo bepaald worden.

Mathematica notebook over het uitgebreide algoritme van Euclides voor veeltermen.


Propositie
Als c(X) een gemene deler is van a(X) en b(X) van maximale graad, dan is c(X) een grootste gemene deler van a(X) en b(X).

Bewijs
Als d(X) de ggd is, dan zijn er veeltermen p(X),q(X) met d(X)=p(X)a(X)+q(X)b(X). De gemene deler c(X) is dus ook een deler van d(X) en heeft derhalve een graad die kleiner dan of gelijk is aan de graad van d(X).

Opmerking
Bij veeltermen en bij gehele getallen spelen graad en absolute waarde een vergelijkbare, cruciale rol. Algebraïsche structuren waarvoor een groottemaat met vergelijkbare eigenschappen bestaat noemt men wel Euclidische ringen.

Test