Sectie 4.5
Eindige lichamen


Tot nu toe zijn we de volgende eindige lichamen tegengekomen (p is een priemgetal): Z/pZ en Z/pZ[X]/(d) met d een irreducibele veelterm. We kunnen precies aangeven hoeveel elementen zo'n lichaam heeft.
Stelling


Als R=Z/pZ (p priem) en d een irreducibele veelterm in R[X] van graad n, dan is R[X]/(d) een lichaam met precies pn elementen.


Bovenstaand resultaat zegt nog weinig over het bestaan van eindige lichamen. Hieronder staat een uitspraak (zonder bewijs) die dit wel duidelijk maakt.


Feit


Zij p een priemgetal en n een natuurlijk getal. Dan bestaat er een irreducibele veelterm f van graad n>0 in Z/pZ[X]. De restklassenring Z/pZ[X]/(f) is dan een eindig lichaam van pn elementen.

Elk eindig lichaam kan op deze manier verkregen worden.