Delen van veeltermen |
|
Voor de veeltermring R [X], waar R=Q, R, C of Z/pZ, met p priem, introduceren we -- geheel analoog aan de situatie bij gehele getallen -- begrippen deler, gemene deler, veelvoud, gemeen veelvoud. Echter, de definities van grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud vereisen een aanpassing. Gehele getallen kunnen we namelijk in grootte vergelijken, maar voor veeltermen moeten we nog afspreken hoe we dat doen. We gebruiken als groottemaat de graad van een veelterm. Definitie Opgave deg (p(X)+q(X)) en deg (p(X)q(X)) =deg p(X) +deg q(X). Laat zien dat de gelijkheid in de laatste regel niet altijd geldt als
de coëfficiënten uit Z/nZ zouden komen,
voor n een geheel getal dat samengesteld is (dat wil zeggen, het
product van tenminste twee getallen groter dan 1).
Stelling a(X) =q(X)b(X) +r(X), deg (r(X) )<deg (b(X)) . De veeltermen q(X) en r(X) zijn uniek bepaald.
Het bestaan van veeltermen q(X) en r(X)
zoals in de uitspraak van de stelling. a(X)=a 0 + a 1 X+ · · · + a n Xn , met a n b(X)=b 0 +b 1 X+ · · · +b m X m met b m a(X)-(a n /b m )Xn-mb(X)=q 1 (X)b(X) +r (X), deg (r (X)) < m. Maar dan geldt a(X)=q(X) b(X)+r(X) , deg (r (X)) < m, waarbij q(X)=q 1 (X)+(a n /b m )Xn-m. De uniciteit. (q(X)-q1(X))b(X) =r1(X)-r(X). Hieruit volgt, met behulp van bovenstaande, deg(q(X)-q1(X))+deg b(X) = deg ( (q(X)-q1(X))b(X) ) = deg ( r1(X)-r(X) ) < deg b(X), zodat deg(q(X)-q1(X)) < 0.
Dit kan alleen als q(X)-q1(X)=0
en dus r1(X)=r(X).
|
|
![]() |
Mathematica notebook over delen van veeltermen. |
Opgave Het algoritme
van Euclides voor veeltermen a(X) = q 1 (X) b(X) +r 1 (X) en deg r 1 (X) < deg b(X) b(X) = q 2 (X) r 1 (X) +r 2 (X) en deg r 2 (X) < deg r 1 (X) ... r n (X) = qn+2(X) rn+1(X) +0 Een grootste gemene deler van a(X) en b(X) is dan de veelterm rn+1(X). Immers, enerzijds vinden we al teruglezend in bovenstaande vergelijkingen achtereenvolgens: rn+1(X)| r n (X),rn+1(X); rn+1(X)| r n-1(X) ,rn(X); . . . ; rn+1(X)| a(X) ,b(X). Anderzijds, als c(X) een gemene deler is van a(X) en b(X), dan halen we uit bovenstaande vergelijkingen achtereenvolgens: c(X) | a(X),b(X); c(X) | b(X), r 1 (X); . . . ; c(X) | r n (X) ,rn+1(X). In het bijzonder: c(X) |rn+1(X). Net als bij gehele getallen kunnen we veeltermen c(X) en d(X) vinden met c(X) a(X) +d(X) b(X) = ggd (a(X),b(X)) . Voorbeeld X5 -1 =(X2 +X +1)· (X3 -X2 ) +X2 -1 X3 -X2 =(X-1)· (X2 -1) +X-1 X2 -1 = (X+1)· (X-1) en tegelijkertijd houden we bij: 1· (X5 -1) +0· (X3 -X2 ) =X5 -1 0· (X5 -1)+1· (X3 -X2 ) =X3 -X2 1· (X5 -1) +(-X2 -X-1)· (X3 -X2 ) =X2 -1 (1-X)· (X5 -1)+(1+(X-1)(X2 +X+1))·(X3 -X2 ) =X-1 De ggd is dus X-1 en een relatie is (-X+1)· (X5
-1)+X3 · (X3 -X2
) =X-1 |
|
![]() |
Mathematica notebook over het algoritme van Euclides voor veeltermen. |
Ook de matrixbenadering van het uitgebreide ggd voor gehele getallen uit Sectie 1.2 kent een analogon voor veeltermen. De daar beschreven matrices Ai en B kunnen hier net zo bepaald worden. |
|
![]() |
Mathematica notebook over het uitgebreide algoritme van Euclides voor veeltermen. |
Propositie |
|
![]() |
Test |