Factoriseren



Analoog aan het begrip priemgetal voor getallen kunnen we het begrip irreducibele veelterm voor veeltermen uit bijvoorbeeld Q [X] invoeren en bewijzen dat elke veelterm geschreven kan worden als het product van eindig veel irreducibele veeltermen. Het zal in deze paragraaf duidelijk worden dat de analogie ver doorgetrokken kan worden: ook hier is een eenduidige ontbinding. Een algoritme om de irreducibele factoren van een veelterm te bepalen ligt echter niet zo voor de hand als de standaardroutine van Hoofdstuk 1 om de priemdelers van een getal te vinden. In het vervolg is R, zonder expliciete vermelding van het tegendeel, steeds Q, R, C of Z/pZ met p priem. Deze rekensystemen hebben gemeen dat elk element ongelijk 0 een multiplicatieve inverse heeft.

Definitie
Een veelterm f(X) R[X] heet irreducibel als deg(f(X)) >0 en als de enige niet-constante veeltermen g(X) met g(X) | f(X) graad deg f(X) hebben; dat wil zeggen, als de enige delers van f(X) de constanten en de constante veelvouden van f(X) zijn.

Opmerking
In plaats van irreducibel had men ook van priem kunnen spreken. In ieder geval is dat het begrip voor getallen waar irreducibiliteit mee overeen komt.

Lemma
Als f(X) irreducibel is van graad n en g(X) een veelterm (ongelijk 0) van graad kleiner dan n, dan is ggd(f(X),g(X))=1.

Bewijs
Het bewijs volgt direct uit de definitie van irreducibiliteit.

Stelling
Laat f(X),g(X),h(X) R[X]. Als f(X) en g(X) onderling ondeelbaar zijn, dan geldt :

Als f(X) | g(X)h(X) dan f(X) | h(X).



Bewijs
Er zijn veeltermen a(X) en b(X) met a(X)f(X) +b(X)g(X)=1. Vermenigvuldig deze relatie met h(X): a(X)f(X)h(X)+b(X)g(X)h(X)=h(X). Omdat f(X) | a(X)f(X)h(X) en f(X) | b(X)g(X)h(X) volgt nu f(X) | h(X).

Corollarium
Als p(X) een irreducibele veelterm is en b 1(X) , . . . , bs(X) zijn veeltermen zo dat

p(X) | b 1(X) b 2(X) · · · bs(X) ,

dan is er een index i { 1, . . . ,s } met p(X) | bi(X).

Bewijs
Direct uit de stelling.

Eenduidige factorontbinding
Elke veelterm f(X) R[X] ongelijk 0 kan geschreven worden als product van eindig veel irreducibele veeltermen:

f(X) = p 1(X) · · · ps(X) , met s 0, en pi(X) irreducibel (i=1, . . . ,s).

Op de volgorde van de irreducibele factoren en vermenigvuldiging met constanten na is deze schrijfwijze uniek.

Bewijs
Eerst bewijzen we met inductie naar deg f(X) dat f(X) geschreven kan worden als product van irreducibele factoren.

Eerst het geval deg f(X)=0.
Hier nemen we s=0. Per definitie geldt dat een product met de lege verzameling als indexverzameling (het lege product) gelijk is aan 1. Degenen die deze start van de inductie verontrust, kunnen zonder bezwaar bij deg f(X) = 1 beginnen. Vergeet de afspraak omtrent deg f(X)=0 echter niet.

Nu het geval deg f(X)>0.
De inductiehypothese luidt dat elke veelterm van graad kleiner dan deg f(X) te schrijven is als product van irreducibele factoren. Als f(X) irreducibel is, dan zijn we klaar. Als het dat niet is, dan heeft f(X) een deler g(X) die voldoet aan 0<deg g(X) <deg f(X). De inductiehypothese leert dat g(X) en f(X)/g(X) beide te schrijven zijn als product van irreducibele factoren:

b=p 1(X) · · · p r(X) ,

f(X)/g(X)=pr+1(X) · · · ps(X) .

Voor f(X) volgt dus

f(X)=p 1(X) · · · p r(Xpr+1(X) · · · ps(X) .

De uniciteit.
Ten slotte tonen we de uniciteit van de ontbinding aan. Ook hier gebruiken we inductie. Schrijf n=deg f(X). Het geval n=0 is eenvoudig: alleen het product van constanten levert een constante op. Veronderstel nu n>0, en veronderstel dat uniciteit bewezen is voor veeltermen van graad <n.

Als f(X)=p 1(X) · · · p r(X) en f(X)=q 1(X) · · · qs(X) twee schrijfwijzen zijn van f(X) als product van irreducibele factoren, dan volgt hieruit dat p 1(X) | p 1(X) · · · p r(X) =q 1(X) · · · qs(X). Uit het Corrolarium concluderen we dat er een index k { 1, . . . ,s } bestaat met p 1(X) | qk (X). Maar dan geldt p 1(X) =qk (X) omdat qk (X) irreducibel is. Pas nu de inductiehypothese toe op de veelterm f(X)/p 1(X) met de twee schrijfwijzen als product van irreducibele factoren f(X)/p 1(X) =p 2(X) · · · p r(X) en f(X)/p 1(X) =q 1(X) · · · qk-1 (X) · qk+1 (X) · · · qs(X) . Deze ontbindingen van f(X)/p 1(X) zijn dezelfde (op de volgorde van de factoren en vermenigvuldigingen met constanten na), en dus zijn ook de ontbindingen van f(X) dezelfde.

Voorbeeld
Een veelterm van graad 1 (ook wel lineaire veelterm genoemd) is irreducibel. De hoofdstelling van de algebra zegt dat elke veelterm in C[X] een product van lineaire factoren is. De enige irreducibele veeltermen zijn dus de lineaire.

Voorbeeld
In Q[X] bestaan wel irreducibele factoren van hogere graad. Laat f(X)=X2+bX+c met b,c Q. Dan is f(X) reducibel (een ander woord voor `niet irreducibel') als er een q Q zo dat X-q | f(X). Dit komt neer op f(q) =0 (vergelijk met de opgave uit de vorige Sectie). Het is bekend dat f(X) een nulpunt heeft dan en slechts dan als de discriminant van f(X) een waarde heeft die in Q ligt. We concluderen dat f(X) Q[X] irreducibel is dan en slechts dan als b2-4c geen kwadraat in Q is. Neem nu eens b=0 en c=-2, zodat f(X) = X2-2. Dan is f(X) irreducibel in Q[X] volgens het net besproken criterium, maar reducibel in R [X].

Opgave
Laat f(X) een veelterm van graad 3 zijn. Bewijs dat f(X) reducibel is dan en slechts dan als f(X) een nulpunt in R heeft.

Voorbeeld
Laat R=Z/2Z. We bewijzen dat de veelterm f(X)=X4+X+ irreducibel is in R[X]. Immers, f( )=f()=; er zijn dus geen nulpunten, en daarom ook geen lineaire factoren van f(X). Stel nu dat f(X)=g(X)h(X) met deg g(X)=deg h(X) =2. Schrijf g(X)=X2+aX+b en h(X)=X2+cX+d met a,b,c,d Z/2Z. Dan geeft f=gh de vergelijkingen:

a=c,

ac=b+d,

ad+bc =,

bd =.

De laatste vergelijking impliceert b=d=, zodat de eerste en derde vergelijking geven =a+c=, een tegenspraak. Er volgt dat f(X) op geen enkele manier geschreven kan worden als product van veeltermen van lagere graad, met andere woorden, f(X) is irreducibel.

Opgave
Bepaal alle irreducibele veeltermen in Z/2Z[X] van graad 3.

Opmerking
Zoals het Mathematica commando Factor al suggereert, bestaan er wel degelijk algoritmen voor het vinden van irreducibele factoren van veeltermen in R[X] als R=Q of Z/pZ. Voor R=Q bestaat een methode uit het terugbrengen tot factorisatie in Z[X], terwijl factorisatie in Z[X] mogelijk (maar inefficiënt) is met behulp van interpolatie (zie volgende sectie }). Voor R=Z/pZ bestaat een methode die gebruikt maakt van de lineaire ruimte structuur van Z/pZ[X], en die op zijn beurt van nut is bij efficiënte factorisatie van veeltermen over Q.

Voorbeeld
Evenals voor getallen, vergelijk met het voorbeeld over het factorisatie-record , is het niet moeilijk een factorisatie te verifiëren. Het is echter niet altijd even makkelijk om na te gaan of de gevonden factoren irreducibel zijn. Een bewijs dat een veelterm f Z[X] irreducibel is, kan vaak geleverd worden door modulo p te rekenen voor een priemgetal p. Er zijn echter veeltermen f(X) Z[X] die irreducibel zijn, maar factoriseren modulo elk priemgetal p. Een voorbeeld is g(X) = X4+1. Modulo 2 factoriseert dit bijvoorbeeld als (X +)4 en modulo 3 als (X2 -X -)(X2 +X -). Het voert hier te ver om te laten zien dat X4 +1 modulo elk priemgetal factoriseert.

Test