Voorbeeld
Een veelterm van graad 1 (ook wel lineaire
veelterm genoemd) is irreducibel. De hoofdstelling van de algebra zegt
dat elke veelterm in C[X] een product van lineaire factoren
is. De enige irreducibele veeltermen zijn dus de lineaire.
Voorbeeld
In Q[X] bestaan wel irreducibele factoren van hogere
graad. Laat f(X)=X2+bX+c met b,c
Q. Dan is f
reducibel (een ander woord voor `niet irreducibel')
als er een q
Q zo
dat X-q | f(X). Dit komt neer op f(q)
=0 (vergelijk met opgave uit de vorige Sectie).
Het is bekend dat f een nulpunt heeft dan en slechts dan
als de discriminant van f een waarde heeft die in Q
ligt. We concluderen dat f
Q[X]
irreducibel is dan en slechts dan als b2-4c geen
kwadraat in Q is. Neem nu eens b=0 en c=-2, zodat
f(X) = X2-2. Dan is f
irreducibel in Q[X] volgens het net besproken criterium,
maar reducibel in R[X].
Voorbeeld
Laat R=Z/2Z. We bewijzen dat de veelterm f(X)=X4+X+
irreducibel is in R[X]. Immers, f(0)=f(1)=1;
er zijn dus geen nulpunten, en daarom ook geen lineaire delers van f.
Stel nu dat f=g·h met deg(g)=deg(h) =2.
Schrijf g(X)=X2+aX+b
en h(X)=X2+cX+d met a,b,c,d
Z/2Z. Dan geeft
f=gh de vergelijkingen:
a=c,
ac=b+d,
ad+bc=1,
bd=1.
De laatste vergelijking impliceert b=d=1,
zodat de eerste en derde vergelijking geven 0=a+c=1,
een tegenspraak. Er volgt dat f op geen enkele manier
geschreven kan worden als product van veeltermen van lagere graad, met
andere woorden, f is irreducibel.
Voorbeeld
Evenals voor getallen, vergelijk met het voorbeeld over het factorisatie-record
, is het niet moeilijk een factorisatie te verifiëren. Het is
echter niet altijd even makkelijk om na te gaan of de gevonden factoren
irreducibel zijn. Een bewijs dat een veelterm f
Z[X] irreducibel is, kan vaak geleverd worden door modulo
p te rekenen voor een priemgetal p. Er zijn echter veeltermen
f
Z[X]
die irreducibel zijn, maar factoriseren modulo elk priemgetal p.
Een voorbeeld is f(X)=X4+1. Modulo 2
factoriseert dit bijvoorbeeld als (X+1)4
en modulo 3 als (X2 -X-1)(X2+X-1). Het voert hier
te ver om te laten zien dat X4+1 modulo elk priemgetal
factoriseert.