Oefeningen
Opgave
Bereken de ggd in elk van de volgende gevallen en schrijf deze als
veeltermcombinatie van de gegeven veeltermen.
Opgave
Ga na: als in Sectie 3.2 a(X),
b(X) veeltermen uit Z [X] zijn en b(X)
monisch is, dan zijn ook q(X), r(X) veeltermen
uit Z [X].
Opgave
Laat a(X),b(X) \in Q [X].
Bewijs: ggd (a(X),b(X))=1 dan en slechts dan
als er veeltermen p(X), q(X)
Q [X] bestaan met p(X) a(X) +q(X)
b(X) =1. (Vergelijk Hoofdstuk
1 .) In dit geval noemen we a(X) en b(X)
onderling priem .
Opgave
Wat gaat er mis met deling met rest in Z /nZ[X]
als n geheel maar niet priem is?
Opgave
Laat f(X)
Z [X] een veelterm van graad
1 zijn. Bewijs dat f(n) (n
Z) niet voor elke n een priemgetal is. [Hint: als f(n
0 )=p priem is, bekijk dan f(n 0
+kp).]
Opgave
Laat f(X),g(X)
R[X] twee veeltermen zijn. Verifieer dat voor alle x
R geldt:
(f+g)(x) =f(x)+g(x)
(f· g)(x) = f(x)· g(x)
Laat a R. Toon
aan dat f(a) | g(a) als f(X) | g(X).
Opgave
Laat zien dat in Z/11Z [X] geldt: (X+)11=X11+
.
Laat zien: als p een priemgetal is, dan geldt voor elke veelterm
a 0 + a 1 X+ · ·
· +a m X m
(Z /pZ )[X]: (a 0 + a 1
X+ · · · +a m X
m )p =a 0p
+ a 1p Xp + ·
· · +a mp X mp
. Vergelijk met Hoofdstuk 2.
Opgave
Verzin een equivalentierelatie op Z [X] waarmee je reductie
modulo n van de coëfficiënten kunt beschrijven.
Opgave
Ga in elk van de volgende gevallen na of de aangegeven veelterm irreducibel
is.
Opgave
In deze opgave werken we in Z . We definiëren een veelterm
a(X) van graad 100 als volgt: de coëfficiënt a
n is gelijk aan het aantal oplossingen van de vergelijking
x=n. De veelterm b(X) van graad 100 heeft als coëfficiënten
b n het aantal (gehele) oplossingen van de vergelijking
2y=n. Voor welke n stelt de n-de coëfficiënt
van a(X)b(X) het aantal oplossingen van de
vergelijking x+2y=n voor?
Opgave
Bepaal alle veeltermen p(X)
Q [X] die aan p(x)=p(-x) voor alle x
Q voldoen. Beantwoord
dezelfde vraag ook in het geval Q vervangen is door Z /6Z
respectievelijk Z /2Z.
Opgave
Gegeven is de veelterm a(X)=a 0 + ·
· · + a n-1Xn-1
+Xn Z
[X].
Opgave
Hoeveel veeltermen van graad n zijn er in Z/3Z[X]?
Bepaal alle irreducibele veeltermen in Z/3Z[X] van
graad 2 en 3.
Opgave
Een pythagoreïsch drietal is een drietal positieve gehele getallen
a,b,c met a2+b2=c2. Het
drietal 3,4,5 is bijvoorbeeld een pythagoreïsch drietal. Laat zien
dat uit de gelijkheid (X2-1)2 +(2X)2
=(X2+1)2 pythagoreïsche drietallen te
halen zijn door voor X rationale getallen in te vullen.
Opgave
Geef naar analogie met het in dit hoofdstuk besprokene een definitie
van `veelterm over R in de onbepaalden X,Y'. Probeer
redelijke definities van optelling en vermenigvuldiging van zulke veeltermen
te geven. Kunt u een definitie van graad verzinnen?