Bewijs

Existentie
We bewijzen eerst met inductie naar a dat elk positief geheel getal geschreven kan worden als product van priemgetallen.

Stap 1: Het geval a=1.
Hier nemen we s=0. Per definitie geldt dat een product met de lege verzameling als indexverzameling (het lege product) gelijk is aan 1. Degenen die deze start van de inductie verontrust, kunnen zonder bezwaar bij a=2 beginnen. Vergeet de afspraak omtrent a=1 echter niet.

Stap 2: Het geval a>1.
De inductiehypothese luidt dat elk positief geheel getal <a te schrijven is als product van priemgetallen. Als a een priemgetal is, dan zijn we klaar. Als a niet priem is, dan heeft a een deler b die voldoet aan 1<b<a. De inductiehypothese leert dat b en a/b beide te schrijven zijn als product van priemgetallen: b=p1 . . . pr , a/b=pr+1 . . . ps . Voor a volgt dus a=p1 . . . pr . pr+1 . . . ps .

Uniciteit
Tenslotte tonen we de uniciteit van de ontbinding aan. Ook hier gebruiken we inductie. Het geval a=1 is eenvoudig: alleen het lege product levert 1 op. Veronderstel nu a>1, en veronderstel dat uniciteit bewezen is voor positieve gehele getallen <a. Als

a=p1 . . . pr en a=q1 . . . qs

twee schrijfwijzen zijn van a als product van priemgetallen, dan volgt hieruit dat

p1 | p1 . . . pr =q1 . . . qs.

Uit het Corollarium concluderen we dat er een index k in de verzameling {1, . . . ,s} bestaat met p1 | qk. Maar dan geldt p1 =qk omdat qk een priemgetal is. Pas nu de inductiehypothese toe op het getal
a/p1 met de twee schrijfwijzen als product van priemgetallen

a/p1 =p2 . . . pr en a/p1 =q1 . . . qk-1 . qk+1 . . . qs.

Deze ontbindingen van a/p1 zijn dezelfde (op de volgorde van de factoren na), en dus zijn ook de ontbindingen van a dezelfde.