Bewijs

Voor het geval a,b>0 zegt het bewijs grofweg: bepaal het grootste veelvoud qb van b dat kleiner dan of gelijk aan a is; dit kun je doen door bij q=0 te beginnen en q steeds groter te maken onder behoud van de eigenschap a-qb $\geq$ 0. Daarna volgt r=a-qb.

Het bewijs wordt in drie stappen gegeven:

Stap 1: Getallen q, r als in de stelling bestaan voor a $\geq$ 0.

Dit bewijzen we met inductie naar a. Als a=0, nemen we q=r=0. Veronderstel nu dat a>0 en dat voor elke gehele a' met 0 $\leq$ a'<a gehele getallen q' en r' bestaan met a'=q'b+r' en 0 $\leq$ r' <b. Als nu a<b, dan nemen we q=0 en r=a. Als a $\geq$ b, dan is 0 $\leq$ a-b <a en bestaan er op grond van de inductiehypothese q' en r' (met 0 $\leq$ r' <b) z´: dat a-b=q'b+r'. Dus a=(q'+1)b +r'. Blijkbaar voldoen q=q'+1 en r=r' in dit geval.

Stap 2: Getallen q, r als in de stelling bestaan voor a< 0.

Op grond van hetgeen we net bewezen hebben zijn er q' en r' met -a=q'b +r' en 0 $\leq$ r'<b. Dan is a=(-q')b-r'. Als nu r'=0, dan nemen we q=-q' en r=0. Als r'>0, dan herschrijven we a=(-q')b-r'=(-q'-1)b +(b-r'). Er geldt: 0 < b-r'< b. Dus hier is aan de eisen voldaan als we q=-q'-1 en r=b-r' nemen.


Stap 3: Eenduidigheid van de gevonden q en r.

Veronderstel dat zowel a=qb+r als a=q'b+r' met 0 $\leq$ r,r'<b. Veronderstel verder dat r $\geq$ r'. Dit is geen wezenlijke beperking. Door aftrekken van de twee vergelijkingen krijgen we r-r' =(q'-q)b. Nu volgt uit deze gelijkheid dat het veelvoud (q'-q)b van b voldoet aan 0 $\leq$ (q'-q)b =r-r' < b. Dit kan uiteraard alleen maar als q'-q=0, ofwel q=q'. Maar dan volgt ook r=r'.