Voorbeeld
Als we de haakjes uitwerken in de uitdrukking
(9X4)3+(3X-9X4)3-(9X3-1)3
en gelijke machten van X verzamelen, dan levert dat de uitdrukking
1 op. We concluderen dan dat deze veelterm gelijk is aan 1. Het `haakjes
uitwerken' stoelt op de bewerkingen `vermenigvuldiging en optelling van
veeltermen.' Een interpretatie van de gelijkheid is dat voor elk geheel
getal dat je voor X invult, het resulterende getal 1 is.
Zo geldt ook
(X2 -1)2 + (2X)2
=(X2 +1)2 .
Sterker nog dan voor gehele getallen, zijn er verschillende schrijfwijzen
voor een en dezelfde uitdrukking.
Definitie
Laat R een der verzamelingen Z, Q, R, C
of Z /nZ zijn. Een veelterm
over R in de onbepaalde X (kortweg veelterm
in X of veelterm als geen verwarring
mogelijk is) is een uitdrukking van de vorm
a 0 + a 1 X + ·
· · + a n-1Xn-1
+ a n Xn ,
waarbij n N
, a 0 , . . . ,a n
R en waarbij X een onbepaalde is. De elementen a 0
, . . . ,a n
R heten de coëfficiënten
van de veelterm. Onder X0 verstaan we 1.
De veelterm is opgebouwd uit de termen
ak X k (k
N ).
In de praktijk laten we een term 0 X k vaak
weg; verder schrijven we meestal X k in plaats
van 1X k (of X
k ); evenzo -X k in plaats van
(-1)X k (of (\ov{-1})X k ),
en verkorten we een uitdrukking als X2 +(-4)X3
tot X2 -4X3. Van een term ak
X k wordt ak de coëfficiënt
en X k de monoom genoemd.
Onder de monomen van een veelterm verstaat men de monomen van termen ak
X k met ak
0. Een veelterm van de vorm X k heet ook wel monoom.
De verzameling veeltermen over R in de onbepaalde X geven
we aan met R[X]. Twee veeltermen over R in de onbepaalde
X zijn gelijk als de corresponderende
coëfficiënten gelijk zijn. Machten van X die niet in een
veelterm optreden worden hierbij geacht coëfficiënt 0 te hebben.
Veeltermen van de vorm a (a
R) heten constant. Met behulp van
de sommatienotatie schrijven we ook wel
a 0 + a 1 X+ ·
· · +a m X m
= k=0m
ak X k .
Opmerking
- In plaats van het woord veelterm treft men ook de term polynoom aan.
Evenals het woord monoom is deze term uit het Grieks afkomstig: poly=veel,
mono=èèn, nomos=term, naam.
- Uit de inclusies Z
Q R volgen natuurlijk
de inclusies Z [X]
Q [X] R
[X].
Voorbeeld
In plaats van 2+3X+0X2 -5X3
schrijven we 2+3X-5X3. In (Z /6Z
)[X] zijn de veeltermen X2
, X2 -\ov{6}X4
en \ov{0} +\ov{12}X +\ov{8}X2 +\ov{-24}X3
+\ov{300}X9 gelijk.
Om de som en het product van twee veeltermen
in R[X] te definiëren spreken we af dat we zo nodig
in een veelterm extra termen 0X k opnemen.
Definitie
Laat a 0 + a 1 X + ·
· · + a n Xn, b
0 + b 1 X + · · ·
+ b m X m
R[X] twee veeltermen in X zijn. Op grond van bovenstaande
afspraak mogen we aannemen dat m=n. De som van deze veeltermen
definiëren we door:
k=0m ak X
k +
k=0m bk X
k =
k=0m (ak + bk
)X k .
Het product van de twee veeltermen is de
veelterm
(
k=0m ak X
k ) . (
k=0m bk X
k ) = c 0 + c 1 X
+ · · · + c2m X2m
met ck =a 0 bk
+ a 1 bk-1 + · ·
· + ak b 0 . Vooruitlopend op
Algebra 2 te introduceren terminologie, spreken we bij R[X]
voorzien van deze optelling en vermenigvuldiging van de veeltermring
R[X].
Voorbeeld
In (Z /6Z )[X] bekijken we de veeltermen + X
+\ov{4}X2 en \ov{3} +\ov{11}X. Optellen levert:
( + X
+\ov{4}X2 )+(\ov{3} +\ov{11}X)&= ( +\ov{3})
+( +\ov{11})X +\ov{4}
X2 \\ &=\ov{5}+\ov{4}X2 .
Vermenigvuldigen:
( + X
+\ov{4}X2 )· (\ov{3} +\ov{11}X)&= ·
\ov{3} +( \cdot \ov{11}+ ·
\ov{3})X\\ &\phantom{=}+( ·
\ov{11} +\ov{4}· \ov{3})X2 + \ov{4}· \ov{11}X3
\\ &= X +\ov{5} X2
+ X3 .
|