Bewijs
Existentie van een oplossing
We bewijzen het bestaan van een
oplossing met volledige inductie naar k. Het geval k=1
is triviaal. Vervolgens doen we het geval k=2, omdat we dit
geval nodig hebben voor de inductiestap. De oplossingen van de eerste
(respectievelijk tweede) congruentie zijn x=a1
+l1 m1 , met l1
geheel (respectievelijk x=a2
+l2 m2 , met
l2 geheel). Voor een oplossing van beide congruenties
geldt dus a1 +l1
m1 =a2 +l2
m2 ofwel l1 m1
-l2 m2 = a2
-a1. Omdat ggd (m1,m2) = 1 bestaan er gehele getallen
l1', l2' met l1' m1 +l2' m2
=1. Een oplossing van beide congruenties is dus
x=a1 +(a2
-a1 )l1' m1
=a2 -(a2 -a1
)l2' m2. Nu de inductiestap. Op
grond van de inductieveronderstelling heeft het stelsel x=
ai mod mi , i=1,2,
. . . ,k-1, een oplossing, a zeg. Bekijk nu het stelsel
van twee congruenties
x= a mod m1 m2 · · · mk-1
x= ak mod mk
De getallen m1 m2 · · · mk-1 en mk zijn onderling ondeelbaar, dus het geval k=2 leert dat dit stelsel een oplossing heeft. Deze oplossing is tevens een oplossing van het oorspronkelijke stelsel.
Uniciteit van de oplossing
De uniciteit is eenvoudig: zijn x en y twee oplossingen,
dan is x-y deelbaar door m1 , m2
, . . . ,mk en dus door het product m1·
· · m2 mk (alle mi
zijn immers onderling priem). Met andere woorden, de oplossingen
x en y zijn gelijk modulo m1 m2
· · · mk.