He a-tallige stelsel


Definitie
Zij a>1 een geheel getal. Onder een a-tallige representatie van een geheel getal m (voor het gemak 0 verondersteld) verstaan we de getallen b0 , . . . ,bk met 0 bi < a, (i=0, ..., k), zo dat m=bkak +bk-1ak-1 +· · · + b1 a + b0 . We schrijven dan m=(bk · · · b0 )a en spreken van het a-tallig stelsel.



Bij het uitschrijven van getallen in getalstelsels komt het voorgaande van pas. Willen we bijvoorbeeld het getal 23 in het zestallig stelsel uitschrijven, dan zoeken we de `hexamalen' (in plaats van decimalen) 0,1,2,3,4,5 als volgt: omdat 23= 5 mod 6 is de laatste hexamaal 5. Vervolgens bepalen we (23-5)/6=3. Er geldt 3= 3 mod 6, dus de tweede hexamaal wordt 3. Dan hebben we 23-5-18=0. Zestallig noteren we 23 dan als (35 )6. Dit is een verkorte schrijfwijze voor 3·61 +5·60. Als we een getal willen uitschrijven in het a--tallig stelsel met a>10, dan zijn de cijfers 0,1, . . . ,9 niet toereikend. We moeten symbolen toevoegen. Voor het zestientallig (hexadecimaal) stelsel kunnen we bijvoorbeeld gebruiken: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Het getal wordt -tallig geschreven als

Stelling
Zij a>1 geheel. Ieder geheel getal m 0 kan a-tallig geschreven worden. Bovendien zijn de optredende cijfers uniek als m>0 en we bk 0 eisen voor het `meest significante' cijfer in m = (bk· · · b0)a.

Bewijs

Conversie naar
a-tallige representatie:
Het getal m kan a-tallig geschreven worden. Dit bewijzen we met inductie naar m. Voor m=1 is dit triviaal. Veronderstel nu dat m>1 en dat de bewering bewezen is voor alle getallen kleiner dan m. Zij b0 de rest bij deling van m door a. Dan geldt 0 b0< a en a | m-b 0. Omdat m-b0/a < m zijn er dus b1 , . . . ,bk die voldoen aan 0 bi < a (i=1, . . . , k) met m-b 0/a =bk ak-1 +bk-1 ak-2 + · · · +b2 a +b1 . Hieruit volgt dat
m=bk ak +· · · +b1 a +b0 .

Uniciteit van de schrijfwijze:
Weer met inductie naar m. Kortheidshalve beperken we ons hier tot de inductiestap. Veronderstel dat m=(bk · · · b0 )a en m=(cl · · · c0 )a twee a-tallige schrijfwijzen zijn voor m. De veronderstelling over het meest siginificante cijfer zegt dat bk 0 en cl 0. Bij deling van m door a vinden we als rest enerzijds b0 en anderzijds c0. Dus b0 =c0. Voor het getal (m-b0)/a hebben we nu ook twee schrijfwijzen in het a-tallig stelsel: (m-b0)/a=(bk · · · b1 )a =(cl · · · c1 )a . De inductiehypothese impliceert nu dat k=l en dat b1 =c1 , . . . , bk =ck.

Voorbeeld
Rekenen in een ander dan het tientallig stelsel kan op dezelfde manier als in het tientallig stelsel. Een optelling in het zestallig stelsel ziet er bijvoorbeeld als volgt uit:

353
445
---
1242

In de eerste stap vinden we 3+5=12, dus `2 opschrijven en 1 onthouden'.

Opmerking
Rekenen modulo a3 komt op hetzelfde neer als rekenen in het a-tallig stelsel met 3 cijfers (daarbij alle posities verder dan 3 cijfers naar links verwaarlozend).

In Mathematica van decimaal naar hexadecimaal


Opgave
Schrijf een algoritme dat de cijfers van een getal m in het a-tallig stelsel bepaalt. Kunt u het zo inrichten dat, als m=(bk · · · b0 )a, de cijfers in de volgorde bk , . . . ,b0 bepaald worden?

Machtsverheffen in Mathematica


Test