De bewijzen volgen uit de overeenkomstige rekenregels voor optellen en
vermenigvuldigen van veeltermen. Ter illustratie bewijzen we
·0 = 0.
Kies een representant a uit
. Dan is
·(0+dR[X]) =
(a·0)+dR[X] volgens de definitie van de
vermenigvuldiging. De vermenigvuldiging in R levert
a·0=0, en de eerste regel leert dat
0+dR[X] = dR[X] = 0. Vandaar
·0 = 0.