|
Definitie
Zij a>1 een geheel getal. Onder een a-tallige
representatie van een geheel getal m (voor het gemak
0 verondersteld) verstaan we de getallen b0 , . . . ,bk
met 0 bi
< a, (i=0, ..., k), zo dat m=bkak
+bk-1ak-1 +·
· · + b1 a + b0
. We schrijven dan m=(bk · · ·
b0 )a en spreken van het a-tallig
stelsel.
Bij het uitschrijven van getallen in
getalstelsels komt het voorgaande van pas. Willen we bijvoorbeeld het getal
23 in het zestallig stelsel uitschrijven, dan zoeken we de `hexamalen'
(in plaats van decimalen) 0,1,2,3,4,5 als volgt: omdat 23= 5 mod 6 is de
laatste hexamaal 5. Vervolgens bepalen we (23-5)/6=3. Er geldt 3= 3 mod
6, dus de tweede hexamaal wordt 3. Dan hebben we 23-5-18=0. Zestallig noteren
we 23 dan als (35 )6. Dit is een verkorte schrijfwijze voor
3·61 +5·60. Als we een getal willen
uitschrijven in het a--tallig stelsel met a>10, dan zijn de cijfers
0,1, . . . ,9 niet toereikend. We moeten symbolen toevoegen. Voor het zestientallig
(hexadecimaal) stelsel kunnen we bijvoorbeeld gebruiken: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
Het getal
wordt
-tallig geschreven als
Stelling
Zij a>1 geheel. Ieder geheel getal m
0 kan a-tallig geschreven worden. Bovendien zijn de optredende cijfers
uniek als m>0 en we bk 0
eisen voor het `meest significante' cijfer in m = (bk·
· · b0)a.
Bewijs
Conversie naar a-tallige representatie:
Het getal m kan a-tallig geschreven worden. Dit bewijzen
we met inductie naar m. Voor m=1 is dit triviaal. Veronderstel
nu dat m>1 en dat de bewering bewezen is voor alle getallen kleiner
dan m. Zij b0 de rest bij deling van m
door a. Dan geldt 0
b0< a en a | m-b 0.
Omdat m-b0/a < m zijn er dus b1
, . . . ,bk die voldoen aan 0
bi < a (i=1, . . . , k) met m-b
0/a =bk ak-1
+bk-1 ak-2 +
· · · +b2 a +b1
. Hieruit volgt dat
m=bk ak +· · ·
+b1 a +b0 .
Uniciteit van de schrijfwijze:
Weer met inductie naar m. Kortheidshalve beperken we ons hier
tot de inductiestap. Veronderstel dat m=(bk ·
· · b0 )a en m=(cl
· · · c0 )a twee
a-tallige schrijfwijzen zijn voor m. De veronderstelling
over het meest siginificante cijfer zegt dat bk
0 en cl
0. Bij deling van m door a vinden we als rest enerzijds b0
en anderzijds c0. Dus b0 =c0.
Voor het getal (m-b0)/a hebben we nu ook twee
schrijfwijzen in het a-tallig stelsel: (m-b0)/a=(bk
· · · b1 )a =(cl
· · · c1 )a .
De inductiehypothese impliceert nu dat k=l en dat b1
=c1 , . . . , bk =ck.
Voorbeeld
Rekenen in een ander dan het tientallig stelsel kan op dezelfde manier
als in het tientallig stelsel. Een optelling in het zestallig stelsel ziet
er bijvoorbeeld als volgt uit:
353
445
---
1242
In de eerste stap vinden we 3+5=12, dus `2 opschrijven en 1 onthouden'.
Opmerking
Rekenen modulo a3 komt op hetzelfde neer als rekenen
in het a-tallig stelsel met 3 cijfers (daarbij alle posities verder
dan 3 cijfers naar links verwaarlozend).
|
|
Opgave
Schrijf een algoritme dat de cijfers van een getal m in het
a-tallig stelsel bepaalt. Kunt u het zo inrichten dat, als m=(bk
· · · b0 )a, de
cijfers in de volgorde bk , . . . ,b0
bepaald worden?
|