Sectie 3.5
Oefeningen
Opgave
Bereken de ggd in elk van de volgende gevallen en schrijf deze als
veeltermcombinatie van de gegeven veeltermen.
Opgave
Ga na: als in Sectie 3.2 a,
b veeltermen uit Z[X] zijn en b
monisch is, dan zijn ook q, r veeltermen
uit Z[X].
Opgave
Laat a, b in Q[X].
Bewijs: ggd(a,b) = 1 dan en slechts dan
als er veeltermen p, q
Q[X] bestaan met p a +q
b =1. (Vergelijk Hoofdstuk
1 .) In dit geval noemen we a en b
onderling priem.
Opgave
Wat gaat er mis met deling met rest in
(Z/nZ)[X] als n geheel maar niet
priem is?
Opgave
Laat f Z[X] een veelterm van graad
1 zijn. Bewijs dat
f(n) (n
Z) niet voor elke n een priemgetal is. [Hint: als
f(n 0 )=p priem is, bekijk dan
f(n0 +kp).]
Opgave
Laat f, g R[X] twee veeltermen zijn. Verifieer
dat voor alle x
R geldt:
(f+g)(x) =f(x)+g(x)
(f· g)(x) = f(x)· g(x)
Laat a R. Toon
aan dat f(a) | g(a) als f | g.
Opgave
Laat zien dat voor elke priem p en elke
veelterm a0 + a1X +
· · · +
amXm
(Z/pZ)[X] geldt:
Opgave
In deze opgave werken we in Z . We
definiëren een veelterm a van graad 100 als volgt: de
coëfficiënt an is gelijk aan het aantal
oplossingen van de vergelijking x=n. De veelterm b van
graad 100 heeft als coëfficiënten
bn het aantal (gehele) oplossingen van de
vergelijking 2y=n. Voor welke n stelt de n-de
coëfficiënt van ab het aantal oplossingen van
de vergelijking x+2y=n voor?
Opgave
Bepaal alle veeltermen p Q[X] die aan
p(x)=p(-x) voor alle x
Q voldoen. Beantwoord
dezelfde vraag ook in het geval Q vervangen is door Z/6Z
respectievelijk Z/2Z.
Opgave
Gegeven is de veelterm a=a0
+ ··· +
an-1Xn-1
+Xn
Z[X].
Opgave
Hoeveel veeltermen van graad n zijn er in
(Z/3Z)[X]? Bepaal alle irreducibele veeltermen in
(Z/3Z)[X] van graad 2 en 3.
Opgave
Een Pythagoreïsch drietal is een drietal
positieve gehele getallen a, b, c met
a2+b2 = c2. Het drietal
3, 4, 5 is bijvoorbeeld een Pythagoreïsch drietal. Laat zien dat
uit de gelijkheid (X2-1)2
+(2X)2 = (X2+1)2
Pythagoreïsche drietallen te halen zijn door voor X
rationale getallen in te vullen.
Opgave
Geef naar analogie met het in dit hoofdstuk besprokene een definitie
van `veelterm over R in de onbepaalden X, Y'. Probeer
redelijke definities van optelling en vermenigvuldiging van zulke veeltermen
te geven. Kunt u een definitie van graad verzinnen?