Bewijs
Eerst bewijzen we met inductie naar deg(f) dat f(X)
geschreven kan worden als product van irreducibele factoren.
Eerst het geval deg(f)=0.
Hier nemen we s=0. Per definitie geldt dat een product met de lege
verzameling als indexverzameling (het lege product) gelijk is aan 1. Degenen
die deze start van de inductie verontrust, kunnen zonder bezwaar bij deg(f)=1 beginnen. Vergeet de afspraak omtrent deg f(X)=0
echter niet.
Nu het geval deg(f)>0.
De inductiehypothese luidt dat elke veelterm van graad kleiner dan deg
f te schrijven is als product van irreducibele factoren.
Als f irreducibel is, dan zijn we klaar. Als het dat niet
is, dan heeft f een deler g die voldoet aan
0<deg(g) <deg(f). De inductiehypothese leert
dat g en f/g beide te schrijven zijn
als product van irreducibele factoren:
g=p1 ··· pr,
f/g=pr+1 ··· ps.
Voor f volgt dus
f=p1 ··· pr·pr+1 ··· ps.
De uniciteit.
Ten slotte tonen we de uniciteit van de ontbinding aan. Ook hier gebruiken
we inductie. Schrijf n=deg(f). Het geval n=0
is eenvoudig: alleen het product van constanten levert een constante op.
Veronderstel nu n>0, en veronderstel dat uniciteit bewezen is
voor veeltermen van graad <n.
Als f= p1 ···
pr en
f=q1 ···
qs twee schrijfwijzen zijn van
f als product van irreducibele factoren, dan volgt
hieruit dat p1 | p1
·· · pr=q1
··· qs. Uit het Corollarium concluderen we dat er
een index k {1,
... ,s} bestaat met p1 |
qk. Maar dan geldt p
1=qk omdat
qk irreducibel is. Pas nu de
inductiehypothese toe op de veelterm f/p1
met de twee schrijfwijzen als product van
irreducibele factoren f/p1=p2
···
pr en
f/p1=q1
···
qk-1·qk+1
···
qs. Deze ontbindingen van
f/p1 zijn dezelfde (op
de volgorde van de factoren en vermenigvuldigingen met constanten na),
en dus zijn ook de ontbindingen van f dezelfde.