Inversen met behulp van het uitgebreide algoritme van Euclides

De methode die we geschetst hebben in het voorbeeld bij de vorige definitie is bruikbaar in de volgende situatie. Veronderstel dat we willen rekenen modulo d R[X]. Zij een element van R[X]/(d) met representant a. Als we een relatie pa + qd = 1 kunnen opsporen, dan vinden we door op restklassen modulo d over te gaan en gebruik te maken van d = dat p · a = 1. Een inverse van a is dus p. Het uitgebreide algoritme van Euclides levert een methode om a (en b) te vinden.

Stelling

Laat R een lichaam en d, a twee veeltermen in R[X] zijn. De restklasse a+(d) een inverse in R[X]/(d) dan en slechts dan als ggd(a,d)=1.


Met behulp van deze stelling kunnen we nieuwe lichamen maken.

Corollarium

Laat R een lichaam en d een irreducibele veelterm in R[X] zijn. Dan is S = R[X]/(d) een lichaam: elk element ongelijk nul in S heeft een inverse.


Als R = Z/pZ, dan is S eindig. In de volgende paragraaf gaan we nader op deze situatie in.