Bewijs
Zij g een element van Sn. Allereerst bewijzen we dat g te schrijven is als product van disjuncte cykels. (De existentie.) Dit bewijs wordt gegeven met behulp van volledige inductie naar het aantal elementen in supp (g). Vervolgens bewijzen we eveneens met inductie de uniciteit van dit product.

Existentie
Als het support van g leeg is, dan is g=e, het eenheidselement, een 0-cykel. We zien dit als een leeg product van cykels. We mogen nu aannemen dat het support van g niet leeg is. Neem een element x supp (g). Kies a1 =x en verder ai+1 =g(a i ) voor i 1. Zij m nu het kleinste natuurlijke getal waarvoor am+1=x. De elementen van c=(a1 , ... , am ) zijn allemaal verschillend en zitten in supp(g). We vatten c op als een m-cykel. Bekijk nu de permutatie h=g c-1. Vaste punten van g zijn tevens vaste punten van h. Voor ai geldt h(ai )=gc-1 (a i)=g (ai-1)= ai , waarbij a0=am. Het support van h is dus supp(g)\ {a1 , ... ,am}. De inductie-aanname verzekert ons dat h te schrijven is als een product van disjuncte cykels c1 , c2 , ... , ct. Het support van deze cykels is bevat in supp(h) en dus disjunct van {a1, ... ,a m}. Maar dan is g=hc het product van de disjuncte cykels c1, ... ,ct en c.

Uniciteit
Stel g is het product van de disjuncte cykels c1 , ... , ct en tevens van de disjuncte cykels d1, ... ,d s, alle ter lengte ten minste 2. We geven het bewijs van de uniciteit met inductie naar t. Het geval t=0 is triviaal: de schrijfwijze g=c1 ··· ct geeft supp(g) is leeg, dus geen der di kan lengte groter dan 1 hebben. Neem daarom aan dat t>0. Nu is supp(g) niet leeg. Kies x supp(g). Dan zijn er cykels ci en dj die x niet vast laten. Zonder verlies van algemeenheid mogen we aannemen dat x supp(ct) en supp(ds). Voor elke m N geldt

ctm(x)=gm(x)=d sm(x).

In het bijzonder vinden we ct=ds. Maar dan geldt ook c1 ··· ct-1=g ct-1= gds-1=d1 ··· ds-1; de inductie-hypothese levert dat t-1=s-1 en, na eventuele omnummering van de indices, ci =di voor alle i tussen 0 en t. Dit bewijst de propositie.