Als g, d veeltermen zijn en $\in$ S=R[X]/(d), dan heeft g() betekenis in S. In het bijzonder, als d=g en =X+(g), dan is g()=0 in S. Zo is S een lichaam geworden waarin g een nulpunt heeft.

Feit (BCH grens)

Zij g een irreducibele deler van Xn-1 in Z/2Z[X]. Schrijf voor het beeld van X in S=Z/2Z[X]/(g). Laat J ={j $\in$ N | g(j) = 0 $\in$ R[X]/(g)}. Als J een rijtje van c opvolgende getallen heeft, dan is de minimale afstand van C tenminste c+1.

Decoderen
Het is natuurlijk van belang bij een codewoord de corresponderende informatievector terug te vinden. Dit gebeurt met behulp van de veelterm h. Voor een codewoord c=( c0, . . . , cn-1) C kunnen we het element c = c0+ c1 X +· · · + cn-1 Xn-1 S vormen; hier is de veelterm c= c0+ c1X+· · · + cn-1Xn-1 een representant van c mod g. Als c afkomstig is van de informatievector a met bijbehorende veelterm a, dan is c=ag+m(X) voor zekere m (Xn+ 1 )(Z/2Z)[X]. De graad van c en van ag is ten hoogste n-1. Derhalve is de graad van m(X) eveneens ten hoogste n-1 en dus m=0. Dit leidt tot de volgende relatie tussen c en a. Vermenigvuldig c met h. De veelterm die zo ontstaat is gelijk aan ch=agh=a(Xn+ 1 )=a+Xn a. De informatievector die bij het codewoord c hoort, vinden we dus door het element van minimale graad in ch+(Xn) op te sporen.


Door het geschikt kiezen van de voortbrengende veelterm kunnen codes gemaakt worden die meerdere fouten verbeteren. Meer hierover leert u bij colleges over coderingstheorie.