Veelterm versus veeltermfunctie



In een veelterm a(X)=a 0 + · · · +a m X m R[X] kunnen we X vervangen door een element r van R. Op deze manier vinden we het element a(r)=a 0 + a 1 r + a 2 r2 + · · · +a m r m R. Zo ontstaat een veeltermfunctie

a: R --> R,

r--> a(r).

Het element r heet een nulpunt van a(X) als a(r)=0.

Voorbeeld
Zij p(X)=X3 -X (Z /6Z )[X]. De bijbehorende veeltermfunctie is de nulfunctie! Elk element van Z /6Z is een nulpunt van p(X). Het is dus in het algemeen niet zo dat de veeltermfunctie de veelterm vastlegt. Het is alleen al om deze reden dat altijd onderscheid gemaakt dient te worden tussen een veelterm en de daarbij behorende veeltermfunctie.

Interpolatie
Interpolatie betreft de vraag een functie te vinden die voorgeschreven waarden in een gegeven stel punten heeft. In de context van veeltermen vragen we natuurlijk naar veeltermfuncties. Veronderstel dat we n punten x 1 , . . . ,x n R hebben, en n voorgeschreven waarden a 1 , . . . ,a n R. Is er een veeltermfunctie f: R--> R die de waarden (ai ) op (xi ) interpoleert?

Voorbeeld
Hoe te interpoleren? Een voorbeeld van een veelterm f(X) R [X] waarvan de bijbehorende functie R -->R in 1 (respectievelijk 2) de waarde 2 (respectievelijk 5) aanneemt, is f(X)=X2 +1, maar ook 3X-1. Zo'n veelterm kun je als volgt zoeken: kies een graad, liefst zo groot als het aantal interpolatiepunten min 1; maar laten we hier 2 kiezen. Schrijf vervolgens f(X)=a 0 + a 1 X + a 2X2 en vul de gegevens in. Dit leidt tot het stelsel lineaire vergelijkingen:

a 0 + a 1 · 1 + a 2 ·12 =2

a 0 + a 1 · 2 + a 2 · 22 =5

Oplossing ervan geeft a 0=2k-1, a 1=3-3k en a 2=k, waarbij ka R. Het hangt mede van de graad af hoeveel veeltermen je vindt. Er voldoen geen veeltermen van graad 0, één veelterm van graad 1, en oneindig veel van graad 2.

Ook de keuze van het rekensysteem van coëfficiënten is van belang. Bijvoorbeeld, als het al te klein is, dan zijn er veeltermfuncties van graad groter dan 0 die de constante functie 0 representeren, zie bovenstaand Voorbeeld .

Voorbeeld
Toepassing van interpolatie: De vereniging `Democraten '16' heeft 4 bestuursleden en 96 andere leden. De leden zijn overeengekomen dat, wanneer een besluit genomen moet worden, het voldoende is dat 16 van haar gewone leden met het besluit instemmen. Deze instemming wordt gegeven door middel van een sleutelgetal (één per besluit) dat bij een notaris ligt. Als het bestuur het sleutelgetal berekend heeft, aan de notaris voorgelegd heeft, en als de notaris vastgesteld heeft dat het inderdaad het sleutelgetal is, dan kunnen alle leden ervan op aan dat er 16 leden ingestemd hebben. Hoe gaat dit in zijn werk? De leden van Democraten '16 hebben elk een nummer, laten we zeggen hun volgordenummer van aanmelding, dat publiekelijk bekend mag zijn. Laten we dit het volgnummer van de leden noemen. Maar elk lid heeft ook een geheim getal (één per besluit). Dit geheime getal is als volgt tot stand gekomen: voor het onderhavige besluit heeft de notaris een veelterm f(X) van graad 15 uitgezocht. In feite is dit het `sleutelgetal' (versleuteld van veelterm tot getal, volgens een vaste maar hier niet ter zake zijnde procedure). Elk lid krijgt nu de waarde f(n), waar n zijn of haar volgnummer is, als geheim getal mee. Als 16 leden hun geheime getal opgestuurd hebben (voorzien van afzender), dan kan het bestuur interpolatie uitvoeren en achter de sleutel komen. Zo er 15 of minder leden zijn, dan zijn er zoveel mogelijkheden als er coëfficiënten zijn---wat ons brengt op de vraag welke coëfficiëntenring te kiezen. R=Z/pZ voor p een priem van zo'n 20 cijfers is zeer adequaat: de interpolatieberekeningen zijn dan nog goed uitvoerbaar, maar er zijn ten minste 1020 veeltermen van graad kleiner dan 16 die voldoen aan de hooguit 15 interpolatievoorwaarden. Het is ondoenlijk de goede hieruit te raden.

Test