Opgave
Als R = Z, Z/pZ (met p priem),
Q, R of C, en als
d
R[X] een veelterm van graad > 0 is, dan is de afbeelding
j : R --> R[X]/(d),
a --> a + (d)
injectief. Toon dit aan.
Laat ook zien dat de afbeelding j niet
injectief is als R = Z/6Z en
d = 2X+1.
Opgave
Laat d
R[X]. In deze opgave maken we een scalaire
vermenigvuldiging op R[X]/(d) met elementen
uit R. Voor
R en
= a mod d definiëren we:
·
:=
a mod d.
- Laat zien dat deze scalaire vermenigvuldiging goed gedefinieerd is,
dat wil zeggen dat ze niet afhangt van de keuze van een representant van
.
- Laat zien dat
·
= 
(de laatste vermenigvuldiging is een vermenigvuldiging van elementen uit
R[X]/(d)). Ga na dat de definitie van scalaire
vermenigvuldiging geen problemen oplevert in verband met de afspraak omtrent
de notatie van elementen uit j(R) als j injectief is.
- In dit onderdeel is R gelijk aan R. Bewijs
dat de optelling en de net gedefinieerde scalaire vermenigvuldiging van
R[X]/(d) een vectorruimte over R
maken.
- Toon aan dat de restklassen van 1 en van X een basis (over
R) vormen van R[X]/(X2 + 1).
Ga na dat, als we deze restklassenring als de complexe getallen
interpreteren, dit de gewone basis 1, i van C over
R is.