Een toepassing: radar detectie


Bij gebruik van radar wordt een signaal uitgezonden en, na terugkaatsing op het te lokaliseren object, laten we zeggen een passerend schip, weer opgevangen. Het tijdverschil tussen opvang en verzending zegt iets over de plaats van het object. De verschuiving in frequentie, veroorzaakt door het Doppler-effect, zegt iets over de snelheid waarmee het schip zich voortbeweegt. Door niet èèn signaal, maar een aantal in frequentie en tijd verschillende signalen uit te zenden en op te vangen, kan een grotere precisie bereikt worden. Dus, in plaats van èèn signaalstoot met een vaste frequentie, zenden we een pakket van n in frequentie verschillende signalen op n verschillende opeenvolgende tijdsintervallen uit. We hebben nog de keuze welke frequentie eerst, en welke daarna wordt uitgezonden, enzovoort.

Zo komen we tot een uitzendpatroon dat 2-dimensionaal is weer te geven: de uitgezonden signalen corresponderen met zwarte hokjes op een n x n vierkant; horizontaal is de tijd uitgezet, verticaal de frequentie. Afstand en snelheid van het passerende schip zorgen voor een verplaatsing van het ontvangen patroon in het tijd/frequentie-vlak. Bij juist gekozen schaling kunnen we van een uniforme verschuiving in het vlak uitgaan. Om nu de afstand en snelheid nauwkeuriger dan met èèn enkel signaal te bepalen, moeten we de verschuiving van het binnengekomen patroon ten opzichte van het uitgezonden patroon zo nauwkeurig mogelijk vaststellen. Hiertoe is het van belang dat de identificatie van het binnengekomen patroon met een verschuiving van het oorspronkelijke patroon zo zuiver mogelijk is. Dit kan bereikt worden door het uitzendpatroon zo te kiezen dat elke verschuiving tot een groot onderscheid met het oorspronkelijke patroon leidt. Als we het volgende patroon kiezen

waar n = 6 en de signalen bij elk volgend interval èèn stapje afnemen in frequentie, dan is een diagonale verschuiving richting zuid-oost slecht te onderscheiden van het oorspronkelijke patroon. Dit speelt natuurlijk nog sterker voor diagonaalpatronen waarin n groter is.

Voorbeeld
Een zeer goede kandidaat bij grootte n=6, waar elke verschuiving in het vlak weinig overeenkomst vertoont met het oorspronkelijke patroon, is hieronder weergegeven.

Nu heeft elke verschuiving ten hoogste èèn hokje gemeen met het oorspronkelijke uitzendpatroon. Beter kunnen we ons niet wensen.

Er zullen altijd verschuivingen zijn die ten minste èèn hokje gemeen hebben met de oorspronkelijke: verschuif het linkerboven hokje maar naar een ander hokje van het oorspronkelijke patroon.

Voortbrengers van de multiplicatieve structuur in Z/pZ
Voor de constructie die we hieronder zullen bespreken, hebben we een x Z nodig zò dat de machten van x modulo p de hele verzameling {, · · · ,\ov{p-1} } doorlopen. Het element heet dan een multiplicatieve voortbrenger van Z/pZ\{0}. Voor elke priem p bestaat er een multiplicatieve voortbrenger. Voor het bewijs is iets meer theorie nodig dan in dit dictaat aan de orde komt. Voor expliciet gegeven priemgetallen p is zo'n voortbrenger wel te vinden.

Opgave

  • Laat zien dat niet, maar wel een multiplicatieve voortbrenger modulo 7 is.
  • Wat zijn de multiplicatieve voortbrengers modulo 11?



Opgave
Laat p een priem zijn en x een natuurlijk getal met x 0 mod p. Bewijs dat een multiplicatieve voortbrenger van Z/pZ\{0} is dan en slechts dan als xj 1 mod p voor j=1, · · · ,p-2.

Schrijf een programma dat, gegeven een priem p, een multiplicatieve voortbrenger vindt.


Met behulp van de ring Z/pZ, waar p een priemgetal is, kunnen we een detectiepatroon construeren van grootte p-1. Om die constructie uit te voeren, kiezen we een x Z zo dat een multiplicatieve voortbrenger modulo p is. Het patroon bestaat dan precies uit die paren (i,j) van tijd i en frequentie j waarvoor geldt j = xi-1 mod p. Voor p=11 en x=2 levert dit bijvoorbeeld het onderstaande uitzendpatroon. Het bestaat uit de hokjes met matrix-coördinaten (1,1),(2,2),(3, 4),(4,8),(5, 5),(6,10), (7,9),(8,7),(9,3),(10,6).

Probeer eens uit, in hoeveel hokjes de patronen elkaar kunnen overlappen.


Het bestaan van een voortbrenger van Z/pZ\{0} is essentieel om via deze constructie een uitzendpatroon met ten hoogste èèn hokje overlap na verschuiving te verkrijgen.

Opgave
Laat p een priemgetal zijn en schrijf K = Z/pZ\{0}. Laat verder a een voortbrenger vanK zijn. Vorm de paren(i,ai-1 ) (i=1, . . . ,p-1), die we opvatten als elementen van K xK. We zullen dergelijke paren vectoren noemen. Voor twee van dergelijke vectoren(i,ai-1 ),(i1 ,ai1 -1} ) is de verschilvector (i-i1 ,ai-1-ai1 -1). De bewering is nu dat, als we met een ander tweetal (j,aj-1),(j1 ,aj1 -1) starten, we ook een andere verschilvector vinden. In de volgende onderdelen bewijzen we dit uitgaande van twee samenvallende verschilvectoren: (i-i1 ,ai-1-ai1 -1)= (j-j1 ,aj-1-aj1 -1).

  • Druk j uit in i,i1 ,j1.
  • Laat zien dat aj-1 -aj1 -1=(ai-1-ai1 -1)aj1 -i1.
  • Concludeer: ai-1=ai1 -1 of \aj1 -i = 1 mod p.
  • Gebruik nu het gegeven data een voortbrenger is en concludeer dat in beide tweetallen de twee vectoren onderling gelijk zijn of dat beide tweetallen vectoren gelijk zijn.


Test