Bewijs
Het bewijs wordt in drie stappen gegeven:
Stap 1: Getallen q, r als in de stelling bestaan
voor a
0.
Dit bewijzen we met inductie naar a. Als a=0, nemen we q=r=0.
Veronderstel nu dat a>0 en dat voor elke gehele a' met
0
a'<a gehele getallen q' en r' bestaan met a'=q'b+r'
en 0
r' <b. Als nu a<b, dan nemen we q=0
en r=a. Als a
b, dan is 0
a-b <a en bestaan er op grond van de inductiehypothese
q' en r' (met 0
r' <b) z´: dat a-b=q'b+r'.
Dus a=(q'+1)b +r'. Blijkbaar voldoen q=q'+1
en r=r' in dit geval.
Stap 2: Getallen q, r als in de stelling bestaan
voor a< 0.
Op grond van hetgeen we net bewezen hebben zijn er q' en r'
met -a=q'b +r' en 0
r'<b. Dan is a=(-q')b-r'. Als nu
r'=0, dan nemen we q=-q' en r=0. Als r'>0,
dan herschrijven we a=(-q')b-r'=(-q'-1)b
+(b-r'). Er geldt: 0 < b-r'< b. Dus hier is
aan de eisen voldaan als we q=-q'-1 en r=b-r' nemen.
Stap 3: Eenduidigheid van de gevonden q en r.
Veronderstel dat zowel a=qb+r als a=q'b+r'
met 0
r,r'<b. Veronderstel verder dat r
r'. Dit is geen wezenlijke beperking. Door aftrekken van de twee
vergelijkingen krijgen we r-r' =(q'-q)b. Nu volgt
uit deze gelijkheid dat het veelvoud (q'-q)b van b
voldoet aan 0
(q'-q)b =r-r' < b. Dit kan uiteraard alleen maar
als q'-q=0, ofwel q=q'. Maar dan volgt ook
r=r'.