Sectie 4.3
Twee speciale gevallen


n-de orde benaderingen

De afbeelding f->f mod Xn+1 voor veeltermen f is de truncatie (of afkap) afbeelding T:

T: R[X] -> R[X]<n +1,
a0 + a1X + · · · + anXn + · · · + asXs -> a0 + a1X + · · · + anXn.

We zullen dit principe overdragen naar willekeurige voldoende vaak differentieerbare functies. Laat f een reëelwaardige functie zijn die in een gereduceerde omgeving van 0 R gedefinieerd is en voldoende vaak differentieerbaar is. Dan noemen we de veelterm a = a0 + a1X + · · · + anXn een n-de orde benadering van f rond 0 als

f(x) = a(x) + O(xn+1)   als x -> 0.     (Zie Analyse.)

Zo'n n-de orde benadering is uniek; in feite bestaat deze benadering uit de eerste n + 1 termen van de Taylorreeks rond 0.

Propositie

Zij f een continue n-voudig differentieerbare reëelwaardige functie. Dan is de veelterm

F=f(0)+f(1)(0)/1! X+ · · · + f(n)(0)/n! Xn in R[X]

de n-de orde benadering van f.

Als bovendien G een n-de ordebenadering van een functie g is, dan zijn (FG) mod Xn+1 en (F+G) mod Xn+1 n-de ordebenadering van respectievelijk fg en f+g.

De berekening van de d-de orde benadering van de functie 1/f uitgaande van de benadering van f komt later aan de orde, als we inversen in R[X]/(d) behandeld hebben.