Door de keuze V = {1, ... , n} hebben we de verzameling V vastgelegd. Maar een buitenstaander zou misschien een andere nummering van de objecten in V hebben gekozen. Hoe vergelijken we nu twee permutaties van V ten opzichte van deze twee nummeringen?

Er is sprake van een bijectie h van V naar zichzelf, die onze nummering in een andere overzet; h wordt hier gebruikt als naamsverandering. Maar h is zelf weer een permutatie! Nu kunnen we een gegeven permutatie g ten opzichte van de door h bepaalde hernummering als volgt beschrijven: voer eerst de `terugtransformatie' h-1 uit naar onze eigen nummering, voer dan g uit, en breng ten slotte weer de andere nummering aan. In formule: dezelfde transformatie g `leest' ten opzichte van de andere nummering als hgh-1. Deze vertaling van g, dat wil zeggen, de functie g -> h gh-1 op Sn, heet conjugatie met h. De cykeldecompositie van g geeft een fraaie manier om het effect van conjugatie met een permutatie h uit te rekenen:

Lemma

  • Als g = (a1 , ... , a m) een enkele cykel is, dan geldt

    h (a1 , ... , am)h-1 = (h(a 1 ), ... , h(a m)).

  • Als g = c1 ··· ct een product van (disjuncte) cykels c1, ... , ct is, dan geldt:

    h g h-1 = (h c1h-1) · · · (h cth-1).


Als twee permutaties geconjugeerd zijn, dan hebben ze dus dezelfde cykelstructuur. Andersom geldt ook:

Propositie

Twee elementen g en h hebben dezelfde cykelstructuur dan en slechts dan als er een k Sn is met khk-1=g.