Bewijs
Zij g een element van Sn.
Allereerst bewijzen we dat g
te schrijven is als product van disjuncte cykels. (De existentie.)
Dit bewijs wordt
gegeven met behulp van volledige inductie naar het aantal elementen in
supp (g). Vervolgens bewijzen
we eveneens met inductie de uniciteit van dit product.
Existentie
Als het support van g leeg is,
dan is g=e, het eenheidselement,
een 0-cykel. We zien dit als een leeg product van cykels.
We mogen nu aannemen dat het support van g
niet leeg is. Neem een element x
supp (g). Kies a1
=x en verder ai+1 =g(a
i ) voor i
1. Zij m nu het kleinste natuurlijke getal waarvoor am+1=x.
De elementen van c=(a1 , ... , am ) zijn
allemaal verschillend en zitten in supp(g).
We vatten c op als een m-cykel. Bekijk nu de permutatie
h=g
c-1. Vaste punten van g
zijn tevens vaste punten van h.
Voor ai geldt
h(ai )=gc-1
(a i)=g
(ai-1)= ai , waarbij a0=am. Het support van h
is dus supp(g)\ {a1
, ... ,am}. De inductie-aanname verzekert
ons dat h te schrijven is als een
product van disjuncte cykels c1 , c2
, ... , ct. Het support van deze cykels
is bevat in supp(h) en dus disjunct
van {a1, ... ,a m}. Maar
dan is g=hc
het product van de disjuncte cykels
c1, ... ,ct en c.
Uniciteit
Stel g is het product van de
disjuncte cykels c1 , ... , ct
en tevens van de disjuncte cykels d1, ...
,d s, alle ter lengte ten minste 2. We geven het
bewijs van de uniciteit met inductie naar t. Het geval t=0
is triviaal: de schrijfwijze g=c1 ··· ct geeft
supp(g) is leeg, dus geen der
di kan lengte groter dan 1 hebben. Neem daarom
aan dat t>0. Nu is supp(g)
niet leeg. Kies x supp(g).
Dan zijn er cykels ci en dj
die x niet vast laten. Zonder verlies van algemeenheid mogen we
aannemen dat x
supp(ct) en supp(ds). Voor elke
m
N geldt
ctm(x)=gm(x)=d sm(x).
In het bijzonder vinden we
ct=ds.
Maar dan geldt ook c1 ··· ct-1=g
ct-1= gds-1=d1 ··· ds-1; de inductie-hypothese
levert dat t-1=s-1 en, na eventuele omnummering van de indices,
ci =di voor alle i
tussen 0 en t. Dit bewijst de propositie.