Bewijs
De nulveelterm 0 is de nul van de vectorruimte.
De tegengestelde
van f in S is de veelterm -f.
Het is niet moeilijk na te gaan dat alle wetten gelden
die S, met de gegeven operaties, tot een vectorruimte over R
maken. Bijvoorbeeld voor de `scalar' r in R
en de `vectoren' f, g in S geldt
r(f+g) =r·f+r·g
dankzij de rekenregels.
We laten nu zien dat 1, X, . . . ,Xn-1 een basis is van S. Dat betekent dat we moeten aantonen dat dit stelsel
De kern van het bewijs is gelegen in het feit dat elk element uit de restklassenring precies één representant van graad kleiner dan n heeft.
Eerst de onafhankelijkheid van het
stelsel. Veronderstel dat
0·1+
1·X +···
+
n-1·Xn-1=0
met
0 , . . . ,
n-1
R, een lineaire combinatie van het stelsel is die optelt tot
0. De gelijkheid vertelt dat
0
+
1 X+ ··· +
n-1Xn-1 een
representant is van de klasse die 0 bevat. Elke klasse bevat echter
precies één representant van graad kleiner dan
n. Derhalve geldt
0 +
1 X+ ··· +
n-1Xn-1=0 in
R [X] en daaruit volgt dat
0 =
1 = · · · =
n-1=0.
Ten slotte: het
stelsel spant S op. Zij a een
element uit de restklassenring. Dit element heeft een representant van
graad kleiner dan n, zeg 0 +
1 X+ ··· +
n-1Xn-1.
Maar dan is a =
0·1
+
1 · X+ ···
+
n-1·
Xn-1 . Dus a is inderdaad een
R-lineaire combinatie van de vectoren 1, X, . . . ,
Xn-1.