Congruentie modulo een veelterm

Sectie 4.1
Congruentie modulo een veelterm

In Hoofdstuk 2 hebben we gezien hoe je met gehele getallen kunt rekenen modulo een gegeven getal n. In dit hoofdstuk gaan we net zoiets doen maar dan met veeltermen in plaats van gehele getallen. We zullen dit doen voor veeltermringen R[X], waarbij R een lichaam is. We brengen in herinnering dat dit betekent dat elk element ongelijk 0 inverteerbaar is, zodat we kunnen delen, en dat de voornaamste voorbeelden zijn R= Q, R, C of Z/pZ (met p priem).

Definitie

Zij d een veelterm uit R[X]. We definiëren een relatie op R[X] als volgt. De veeltermen a, b R[X] zijn congruent modulo d als er een veelterm q R[X] is zo dat a-b=qd, dat wil zeggen als a en b een veelvoud van d verschillen. Notatie: a= b mod d.

Ons doel zal zijn om zo veel mogelijk theorie over het rekenen modulo een getal om te zetten naar resultaten over het rekenen modulo een veelterm. Het volgende lemma vertelt ons dat de belangrijkste eigenschap (de indeling in restklassen) in ieder geval behouden blijft.

Lemma

De relatie `congruent modulo d' is een equivalentierelatie op R[X].