Samenvatting hoofdstuk 5
Overzicht secties
- De symmetrische groep
- Cykels
- De
alternerende groep
- Oefeningen
Overzicht inhoud
Centraal staan de bijecties van de verzameling {1,2, ... ,n}
naar zich zelf, de zogenaamde permutaties van 1,2, ... ,n.
Permutaties
kunnen vermenigvuldigd worden (product van permutaties) en geinverteerd
worden (de inverse van een permutatie). De permutaties van 1,2, ... ,n
worden aangeduid met Sn.
Aan de orde komen:
- Presentaties van een permutatie:
- als een geordende rij
- als een 2 bij n matrix
- door middel van een permutatiematrix
- als product van disjuncte cykels
opmerking: dat dit kan is een stelling
- als product van transposities
opmerking: dat dit kan is een stelling
- met een graaf
Hierbij spelen een rol de begrippen
- (m-)cykel, 2-cykel of transpositie
- de vaste punten van een permutatie; disjuncte cykels
- Het rekenen met permutaties in de verscheidene presentatievormen
- Het teken van een permutatie met de belangrijkste wet:
even × even =even, oneven × even= oneven, oneven × oneven=even;
- de deelverzameling van even permutaties An in
Sn
Permutaties spelen een belangrijke rol bij de beschrijving van symmetrieën
(bijvoorbeeld die van een kubus);
dat is een onderwerp waar in Algebra 2 aandacht aan zal worden besteed.