Voorbeeld
Een veelterm van graad 1 (ook wel lineaire veelterm genoemd) is irreducibel. De hoofdstelling van de algebra zegt dat elke veelterm in C[X] een product van lineaire factoren is. De enige irreducibele veeltermen zijn dus de lineaire.

Voorbeeld
In Q[X] bestaan wel irreducibele factoren van hogere graad. Laat f(X)=X2+bX+c met b,c Q. Dan is f reducibel (een ander woord voor `niet irreducibel') als er een q Q zo dat X-q | f(X). Dit komt neer op f(q) =0 (vergelijk met opgave uit de vorige Sectie). Het is bekend dat f een nulpunt heeft dan en slechts dan als de discriminant van f een waarde heeft die in Q ligt. We concluderen dat f Q[X] irreducibel is dan en slechts dan als b2-4c geen kwadraat in Q is. Neem nu eens b=0 en c=-2, zodat f(X) = X2-2. Dan is f irreducibel in Q[X] volgens het net besproken criterium, maar reducibel in R[X].

Voorbeeld
Laat R=Z/2Z. We bewijzen dat de veelterm f(X)=X4+X+ irreducibel is in R[X]. Immers, f(0)=f(1)=1; er zijn dus geen nulpunten, en daarom ook geen lineaire delers van f. Stel nu dat f=g·h met deg(g)=deg(h) =2. Schrijf g(X)=X2+aX+b en h(X)=X2+cX+d met a,b,c,d Z/2Z. Dan geeft f=gh de vergelijkingen:

a=c,

ac=b+d,

ad+bc=1,

bd=1.

De laatste vergelijking impliceert b=d=1, zodat de eerste en derde vergelijking geven 0=a+c=1, een tegenspraak. Er volgt dat f op geen enkele manier geschreven kan worden als product van veeltermen van lagere graad, met andere woorden, f is irreducibel.


Voorbeeld
Evenals voor getallen, vergelijk met het voorbeeld over het factorisatie-record , is het niet moeilijk een factorisatie te verifiëren. Het is echter niet altijd even makkelijk om na te gaan of de gevonden factoren irreducibel zijn. Een bewijs dat een veelterm f Z[X] irreducibel is, kan vaak geleverd worden door modulo p te rekenen voor een priemgetal p. Er zijn echter veeltermen f Z[X] die irreducibel zijn, maar factoriseren modulo elk priemgetal p. Een voorbeeld is f(X)=X4+1. Modulo 2 factoriseert dit bijvoorbeeld als (X+1)4 en modulo 3 als (X2 -X-1)(X2+X-1). Het voert hier te ver om te laten zien dat X4+1 modulo elk priemgetal factoriseert.