Sectie 5.4
Oefeningen


Opgave
In S6 zijn gegeven de permutaties a=(1,2,3), b=(2,3,4,5,6) en c=(1,4,6,3).



Opgave
Schrijf alle elementen van A 4 als product van disjuncte cykels.

Opgave
Hoeveel elementen uit S5 hebben de cykel-structuur 2,3?

Opgave
Verifieer dat g3 g-2 =g voor g Sn. Laat zien dat voor alle m,n N de gelijkheid gm+n =gm gn geldt.

Opgave
Zij k een element van Sn, met n>2.



Opgave
Kies een willekeurige permutatie g in S9



Opgave
Bewijs dat voor n>4 elke permutatie in Sn te schrijven is als een product van 4-cykels. Bewijs ook dat elke even permutatie te schrijven is als een product van 5-cykels.

Opgave
Zij a=(1,2,3)(4,7,9)(5,6). Bepaal een b S9 zo dat bab-1=(9,8,7)(6,5,4)(3,2).

Opgave
Zij a=(1,2) en b=(2, . . . , n).



Opgave
Voor g Sn definiëren we een matrix S met

S ij = 1 als i=g(j)    en    0 anders.

De matrix S heet de permutatiematrix bij g.



Opgave
Nummer de hoekpunten van het vierkant met de getallen 1 tot en met 4.



Opgave
Bewijs de volgende uitspraken:



Opgave
Schrijf een algoritme dat voor gegeven getallen g, n met ggd(g,n)=1, de vermenigvuldiging met g op (Z/nZ)\{0} als een permutatie van {1, ... ,n-1} als product van disjuncte cykels beschrijft.