Eerst laten we zien dat I goed gedefinieerd is. Laat a0 + a1X + · · · + amXm en b0 + b1X + · · · + bmXm twee veeltermen zijn die congruent zijn modulo n (volgens de afspraak uit Hoofdstuk 3 mogen we de hoogste macht van een monoom in zowel a(X) als b(X) gelijk m veronderstellen). Dan geldt dat ai en bi een n-voud verschillen voor i = 0, 1, . . . , m. Maar dit betekent dat ai = bi mod n voor i = 0, 1, . . . , m. Onze definitie hangt dus niet af van de gekozen representant.
Om de bijectiviteit te bewijzen, moeten we injectiviteit en surjectiviteit
aantonen. Wat het laatste betreft: als a0 +
a1X + · · · +
amXm
in (Z/nZ)[X], dan is
I(a0
+ a1X+ · · · +
amXm + (n)) = a0
+ a1X + · · · +
amXm . Resteert de injectiviteit:
als I(a0 + a1X
+ · · · + amXm
+ (n)) = I(b0 + b1X
+· · · + bmXm +
(n)), dan is ai = bi mod n
voor i = 0, . . . , m. Dat impliceert dat
n | (ai - bi) voor elke i
en dus dat a0 + a1X
+· · · + amXm en
b0 + b1X + · ·
· + bmXm congruent modulo n
zijn. Laat a(X) = a0
+ a1X + · · ·
+ amXm een representant van
zijn en b(X) = b0 +
b1X + ·
· · + bmXm een representant
van
. Dan geldt:
I(
+
) =
a0 + b0 + (a1 +
b1)X + · ·
· + (am + bm)Xm,
(tel eerst
en
op volgens de definitie en pas vervolgens het voorschrift van I
toe) terwijl I(
) +
I(
) =
(a0 + a1X + · ·
· + amXm) + (b0
+ b1X + · · · +
bmXm). Hieruit volgt de gelijkheid onmiddellijk.
De bewijzen van de overige beweringen laten we aan de lezer over.