Bewijs

Existentie van een oplossing

We bewijzen het bestaan van een oplossing met volledige inductie naar k. Het geval k=1 is triviaal. Vervolgens doen we het geval k=2, omdat we dit geval nodig hebben voor de inductiestap. De oplossingen van de eerste (respectievelijk tweede) congruentie zijn x=a1 +l1 m1 , met l1 geheel (respectievelijk x=a2 +l2 m2 , met l2geheel). Voor een oplossing van beide congruenties geldt dus a1 +l1 m1 =a2 +l2 m2 ofwel l1 m1 -l2 m2 =a2 -a1 . Omdat ggd (m1 ,m2 )=1 bestaan er gehele getallen l1 ', l2' met l1 'm1 +l2 'm2 =1. Een oplossing van beide congruenties is dus x=a1 +(a2 -a1 )l1 'm1 =a2 -(a2 -a1 )l2 'm2. Nu de inductiestap. Op grond van de inductieveronderstelling heeft het stelsel x= ai mod mi , i=1,2, . . . ,k-1, een oplossing, a zeg. Bekijk nu het stelsel van twee congruenties

x= a mod m1 m2 · · · mk-1

x= ak mod mk

De getallen m1 m2 · · · mk-1 en mk zijn onderling ondeelbaar, dus het geval k=2 leert dat dit stelsel een oplossing heeft. Deze oplossing is tevens een oplossing van het oorspronkelijke stelsel.

Uniciteit van de oplossing
De uniciteit is eenvoudig: zijn x en y twee oplossingen, dan is x-y deelbaar door m1 , m2 , . . . ,mk en dus door het product m1· · · m2 mk (alle m_i zijn immers onderling priem). Met andere woorden, de oplossingen x en y zijn gelijk modulo m1 m2 · · · mk.

Mathematica implementatie van de Chinese reststelling

Opgave
Breid het algoritme in bovenstaande paragraaf uit tot een willekeurig stel moduli.

Test