Oefeningen


Opgave
Bereken de ggd in elk van de volgende gevallen en schrijf deze als veeltermcombinatie van de gegeven veeltermen.



Opgave
Ga na: als in Sectie 3.2 a(X), b(X) veeltermen uit Z [X] zijn en b(X) monisch is, dan zijn ook q(X), r(X) veeltermen uit Z [X].

Opgave
Laat a(X),b(X) \in Q [X]. Bewijs: ggd (a(X),b(X))=1 dan en slechts dan als er veeltermen p(X), q(X) Q [X] bestaan met p(X) a(X) +q(X) b(X) =1. (Vergelijk Hoofdstuk 1 .) In dit geval noemen we a(X) en b(X) onderling priem .

Opgave
Wat gaat er mis met deling met rest in Z /nZ[X] als n geheel maar niet priem is?

Opgave
Laat f(X) Z [X] een veelterm van graad 1 zijn. Bewijs dat f(n) (n Z) niet voor elke n een priemgetal is. [Hint: als f(n 0 )=p priem is, bekijk dan f(n 0 +kp).]

Opgave
Laat f(X),g(X) R[X] twee veeltermen zijn. Verifieer dat voor alle x R geldt:

(f+g)(x) =f(x)+g(x)

(f· g)(x) = f(xg(x)

Laat a R. Toon aan dat f(a) | g(a) als f(X) | g(X).

Opgave
Laat zien dat in Z/11Z [X] geldt: (X+)11=X11+. Laat zien: als p een priemgetal is, dan geldt voor elke veelterm a 0 + a 1 X+ · · · +a m X m (Z /pZ )[X]: (a 0 + a 1 X+ · · · +a m X m )p =a 0p + a 1p Xp + · · · +a mp X mp . Vergelijk met Hoofdstuk 2.

Opgave
Verzin een equivalentierelatie op Z [X] waarmee je reductie modulo n van de coëfficiënten kunt beschrijven.

Opgave
Ga in elk van de volgende gevallen na of de aangegeven veelterm irreducibel is.



Opgave
In deze opgave werken we in Z . We definiëren een veelterm a(X) van graad 100 als volgt: de coëfficiënt a n is gelijk aan het aantal oplossingen van de vergelijking x=n. De veelterm b(X) van graad 100 heeft als coëfficiënten b n het aantal (gehele) oplossingen van de vergelijking 2y=n. Voor welke n stelt de n-de coëfficiënt van a(X)b(X) het aantal oplossingen van de vergelijking x+2y=n voor?

Opgave
Bepaal alle veeltermen p(X) Q [X] die aan p(x)=p(-x) voor alle x Q voldoen. Beantwoord dezelfde vraag ook in het geval Q vervangen is door Z /6Z respectievelijk Z /2Z.

Opgave
Gegeven is de veelterm a(X)=a 0 + · · · + a n-1Xn-1 +Xn Z [X].



Opgave
Hoeveel veeltermen van graad n zijn er in Z/3Z[X]? Bepaal alle irreducibele veeltermen in Z/3Z[X] van graad 2 en 3.

Opgave
Een pythagoreïsch drietal is een drietal positieve gehele getallen a,b,c met a2+b2=c2. Het drietal 3,4,5 is bijvoorbeeld een pythagoreïsch drietal. Laat zien dat uit de gelijkheid (X2-1)2 +(2X)2 =(X2+1)2 pythagoreïsche drietallen te halen zijn door voor X rationale getallen in te vullen.

Opgave
Geef naar analogie met het in dit hoofdstuk besprokene een definitie van `veelterm over R in de onbepaalden X,Y'. Probeer redelijke definities van optelling en vermenigvuldiging van zulke veeltermen te geven. Kunt u een definitie van graad verzinnen?