De bewijzen van rekenregels voor het rekenen modulo een
veelterm volgen uit de overeenkomstige rekenregels voor optellen en
vermenigvuldigen van veeltermen. Ter illustratie bewijzen we
(
+
) =
·
+
·
. Kies
representanten a uit
, b uit
en c uit
. Dan is
+
= b + c +
dR[X] volgens de definitie van de optelling. De
definitie van de vermenigvuldiging leert dan dat
(
+
) = a(b + c) +
dR[X]. Omdat a(b + c) =
ab + ac (dit is de overeenkomstige
rekenregel voor veeltermen), vinden we
(
+
) =
ab + ac + dR[X]. Voor de
twee producten
·
en
·
die in het rechterlid van de
te bewijzen rekenregel voorkomen, krijgen we:
·
= ab +
dR[X] en
·
=
ac + dR[X]. Dus
·
+
·
=
ab + dR[X] + ac +
dR[X] en de rekenregel is bewezen. (In het bewijs hebben
we consequent met een vaste representant uit
etc. gewerkt; dit is strikt genomen niet nodig, maar
blijkt hier wel handig.)