Het bewijs van de rekenregels

De bewijzen van rekenregels voor het rekenen modulo een veelterm volgen uit de overeenkomstige rekenregels voor optellen en vermenigvuldigen van veeltermen. Ter illustratie bewijzen we ( + ) = · + · . Kies representanten a(X) uit , b(X) uit en c(X) uit . Dan is + = b(X) + c(X) + (d(X)) volgens de definitie van de optelling. De definitie van de vermenigvuldiging leert dan dat ( + ) = a(X)(b(X) + c(X)) + (d(X)). Omdat a(X)(b(X) + c(X)) = a(X)b(X) + a(X)c(X) (dit is de overeenkomstige rekenregel voor veeltermen), vinden we ( + ) = a(X)b(X) + a(X)c(X) + (d(X)). Voor de twee producten · en · die in het rechterlid van de te bewijzen rekenregel voorkomen krijgen we: · = a(X)b(X) + (d(X)) en · = a(X)c(X)} + (d(X)). Dus · + · = a(X)b(X) + (d(X)) + a(X)c(X) + (d(X)) en de rekenregel is bewezen. (In het bewijs hebben we consequent met een vaste representant uit etc. gewerkt; dit is strikt genomen niet nodig, maar blijkt hier wel handig.)