Sectie 2.6
Oefeningen
Opgave
- Deelbaarheid door 4 van een getal dat in het tientallig stelsel is
uitgeschreven kan als volgt getest worden: het getal is deelbaar door 4
dan en slechts dan als het getal gevormd door de laatste twee cijfers deelbaar
is door 4. Laat dit zien.
- Formuleer een 8-proef voor decimaal uitgeschreven getallen. Hoe ziet
men aan een tweetallig uitgeschreven getal of het deelbaar is door 8?
- Formuleer en bewijs een test voor deelbaarheid door a-1 in het
a-tallig stelsel.
Opgave
De decimale schrijfwijze van een getal is abcabc. Hierbij zijn
a, b en c elementen uit {0, 1,. . . ,9}. Bewijs dat 7, 11
en 13 delers zijn van abcabc.
Opgave
Bewijs dat n4 + n2 +1 deelbaar
is door 3 als n>0 niet deelbaar is door 3.
Opgave
Is de omkering van Fermat's Kleine Stelling,
`als xp-1 = 1 mod p voor alle x,
met x ongelijk 0 mod p, dan is p een priemgetal' ook
waar?
Opgave
Toon elk van de volgende beweringen aan:
- 13 | (106-1).
- 17 | (108+1).
- Als n
0 mod
5, dan is n4+64 geen priemgetal.
- Het getal 21000+5 is niet priem. [Hint : reken modulo 3.]
- Voor elke n>0 is 3 een deler van 22n-1.
Opgave
Bepaal de multiplicatieve inversen van de aangegeven elementen of laat
zien dat deze inverse niet bestaat.
- 3
Z/37Z.
- 4
Z/14Z.
Opgave
Laat c
Z/nZ
een multiplicatieve inverse hebben. Bewijs dat a = b mod n
dan en slechts dan als ca=cb mod n.
Opgave
Los de volgende vergelijkingen op:
- 2x = 37 mod 21.
- 5x = 15 mod 25.
- 3x = 7 mod 18.
Opgave
Los het volgende stelsel op:
2x = 37 mod 5 en 3x = 48 mod 7
Opgave
Los het volgende stelsel op:
x+y = 6 mod 11 en 2x-y = 8 mod 11
Opgave
Fermat vermoedde dat getallen van de vorm 22n+1 priem
zijn. Voor n =5 blijkt het vermoeden niet waar. Toon dit met behulp
van de volgende gegevens aan. Er geldt 641=29 +27
+1 en dus 27 (22 +1)= -1 mod 641. Verder is 54
= -24 mod 641. Toon nu aan dat 641 | (225 + 1).
Opgave
Beschrijf de functie f die aan twee getallen x en y
het getal f(x,y)
[0,xy-1]
toevoegt met en f(x,y)= y mod 25.
Opgave
Bewijs: als p een
priemgetal is en 0<k<p, dan is p een deler
van de binomiaalcoëfficiënt
Laat verder zien dat
voor alle x,y
Z/pZ geldt: (x+y)p
= xp +yp.
Opgave
Wat
zijn inverteerbare elementen van Z/4Z, Z
/6Z en Z/12Z? Laat p een priemgetal
zijn. Wat zijn de inverteerbare elementen van
Z/p2Z?
Opgave
Bewijs dat er geen gehele
getallen x, y, z zijn die voldoen aan x3
+y3 +z3 =5. [Hint: reken modulo
9.] Leg een lijst aan van de positieve waarden die deze uitdrukking
kan aannemen onder de 30. Opmerking: of 30 voorkomt is nog onbekend
(dd. november 1997).
Opgave
- Schrijf 377 in het 2-tallig, 8-tallig en het 16-tallig stelsel.
- Schrijf 301 in het 7-tallig stelsel.
- Het getal a wordt 7-tallig geschreven als 3456142. Is dit getal
deelbaar door 6? Hint : hoe kun je deelbaarheid door 9 testen in het tientallig
stelsel?
- Laat zien dat je een getal in het 2-tallig stelsel eenvoudig kunt omschrijven
naar een getal in het 16-tallig stelsel (en vice versa).
Opgave
De Toy autofabrieken leveren elke 11 minuten een auto (de ``Corollarium'')
af. De fabriek start op een middernacht van zondag op maandag. De directeur
wil graag een duizendvoud geproduceerde Corollarium's vieren op het moment
dat de bewuste auto van de band rolt. Hij wil echter de champagne alleen
op de werkvloer laten aanrukken als het vrijdagmiddag tussen 3 en 5 uur
is. Hoeveel dagen na de start, en hoe laat, doet zich de eerste gelegenheid
voor?
Opgave
Zij n
N.
- Laat zien, dat de decimale ontwikkeling van 1/n eindig is dan
en slechts dan als de priemdelers van n gelijk aan 2 of 5 zijn.
- Neem aan dat n een priemdeler ongelijk aan 2 of 5 heeft. Toon
aan dat de decimale ontwikkeling van 1/n repeteert. (Bijvoorbeeld
1/7 = 0,14285714285714285714 . . . heeft periode 6.)
- Neem aan dat n priem is, dat 1/n een repeterende
decimale ontwikkeling heeft en dat de lengte van het repeterende deel
even is. Zij het repeterende deel gelijk aan x1
··· x2m. Laat zien
dat
(x1 ···
xm)10 + (xm+1
···
x2m)10=10m-1.
(In het voorbeeld voor n=7 vinden we dat het repeterende deel gelijk
is aan 142857, en dat 142 + 857 = 999.) [Hint : reken modulo 10.]
- Laat zien dat het vorige onderdeel niet langer waar hoeft zijn als
we de voorwaarde achterwege laten dat n priem is. [Hint: neem
n = 33.]