Bewijs
Existentie
We bewijzen eerst met inductie naar a dat elk positief geheel getal geschreven
kan worden als product van priemgetallen.
Stap 1: Het geval a=1.
Hier nemen we s=0. Per definitie geldt dat een product met de lege verzameling
als indexverzameling (het lege product) gelijk is aan 1. Degenen die deze
start van de inductie verontrust, kunnen zonder bezwaar bij a=2
beginnen. Vergeet de afspraak omtrent a=1 echter niet.
Stap 2: Het geval a>1.
De inductiehypothese luidt dat elk positief geheel getal <a te
schrijven is als product van priemgetallen. Als a een priemgetal
is, dan zijn we klaar. Als a niet priem is, dan heeft a een
deler b die voldoet aan 1<b<a. De inductiehypothese
leert dat b en a/b beide te schrijven zijn als product van
priemgetallen: b=p1 . . . pr
, a/b=pr+1 . . . ps
. Voor a volgt dus a=p1 . . . pr
. pr+1 . . . ps .
Uniciteit
Tenslotte tonen we de uniciteit van de ontbinding aan. Ook hier gebruiken
we inductie. Het geval a=1 is eenvoudig: alleen het lege product
levert 1 op. Veronderstel nu a>1, en veronderstel dat uniciteit
bewezen is voor positieve gehele getallen <a. Als
a=p1 . . . pr en a=q1 . . . qs
twee schrijfwijzen zijn van a als product van priemgetallen, dan volgt hieruit dat
p1 | p1 . . . pr =q1 . . . qs.
Uit het Corollarium concluderen we dat er
een index k in de verzameling {1, . . . ,s} bestaat met p1
| qk. Maar dan geldt p1 =qk
omdat qk een priemgetal is. Pas nu de inductiehypothese
toe op het getal
a/p1 met de twee schrijfwijzen als product van
priemgetallen
a/p1 =p2 . . . pr en a/p1 =q1 . . . qk-1 . qk+1 . . . qs.
Deze ontbindingen van a/p1 zijn dezelfde (op de volgorde van de factoren na), en dus zijn ook de ontbindingen van a dezelfde.