Sectie
4.5
Eindige lichamen
Tot nu toe zijn we de volgende eindige
lichamen
tegengekomen (p is een priemgetal): Z/pZ en
Z/pZ[X]/(d) met d een irreducibele
veelterm.
We kunnen precies aangeven hoeveel elementen zo'n lichaam heeft.
Stelling
Als R=Z/pZ (p priem) en
d
een irreducibele veelterm in R[X] van graad
n, dan is R[X]/(d) een lichaam met precies
pn elementen.
|
Bovenstaand resultaat zegt nog weinig over het bestaan van eindige lichamen.
Hieronder staat een uitspraak (zonder bewijs) die dit wel duidelijk maakt.
Feit Zij p
een priemgetal en n een natuurlijk getal. Dan bestaat er een
irreducibele veelterm f van graad n>0 in
Z/pZ[X]. De restklassenring
Z/pZ[X]/(f) is dan een eindig lichaam
van pn elementen.
Elk eindig lichaam kan op deze manier verkregen worden.
|