Bewijs

Conversie naar
a-tallige representatie:
Het getal m kan a-tallig geschreven worden. Dit bewijzen we met inductie naar m. Voor m=1 is dit triviaal. Veronderstel nu dat m>1 en dat de bewering bewezen is voor alle getallen kleiner dan m. Zij b0 de rest bij deling van m door a. Dan geldt 0 b0< a en a | m-b 0. Omdat (m-b0)/a < m zijn er dus b1 , . . . ,bk die voldoen aan 0 bi < a (i=1, . . . , k) met (m-b 0)/a =bk ak-1 +bk-1 ak-2 + · · · +b2 a +b1 . Hieruit volgt dat
m=bk ak +· · · +b1 a +b0 .

Uniciteit van de schrijfwijze:
Weer met inductie naar m. Kortheidshalve beperken we ons hier tot de inductiestap. Veronderstel dat m=(bk · · · b0 )a en m=(cl · · · c0 )a twee a-tallige schrijfwijzen zijn voor m. De veronderstelling over het meest siginificante cijfer zegt dat bk 0 en cl 0. Bij deling van m door a vinden we als rest enerzijds b0 en anderzijds c0. Dus b0 =c0. Voor het getal (m-b0)/a hebben we nu ook twee schrijfwijzen in het a-tallig stelsel: (m-b0)/a=(bk · · · b1 )a =(cl · · · c1 )a . De inductiehypothese impliceert nu dat k=l en dat b1 =c1 , . . . , bk =ck.