Stel Xandra studeert in Eindhoven en IJsbrand in Canberra.
Ze zitten dus ver van elkaar.
Ze willen weten of hun studiemateriaal identiek is.
Ze beschikken beiden locaal over fenomenale apparatuur.
Maar communicatie is het probleem. Hun materiaal is op gelijke
wijze verwerkt tot een bitstring ter lengte 1013. Hun modem verwerkt 28800 bytes per seconde, dus
28800 x 8 x 365 x 24 x 3600 1013
bits per jaar.
Xandra stuurt haar materiaal bit voor bit naar IJsbrand en IJsbrand
gaat bit voor bit na of hij hetzelfde heeft. Gegeven de snelheid van de
communicatie, zal dat precies een jaar duren. Er is geen snellere methode
om exact vast te stellen of hun materiaal identiek is. Maar als
ze genoegen nemen met een kleine foutenmarge gaat het veel sneller...
...dankzij priemgetallen!
Hoe zit dat? Vanzelfsprekend geldt: x=y impliceert x mod p = y
mod p. In dat geval moet x-y een veelvoud van p ongelijk
0 zijn. Dus de kans op een foute conclusie is gelijk aan
Als k het aantal priemen is dat een getal z deelt, dan
is
x mod p en y mod p
Dit zijn getallen tussen 0 en p-1.
y mod p, concludeert IJsbrand dat x en y ongelijk
zijn. Als x mod p = y mod p, concludeert hij
dat (zo goed als zeker) dat x = y.
Dit betekent dat de conclusie
x y
gerechtvaardigd is als
x mod p
y mod p.
Stel dus x mod p = y mod p. Hoe groot is de
kans op een fout? Dat wil zeggen: hoe groot is de kans dat x
y geldt?
P:=
aantal priemdelers van x-y
--------------------
aantal priemen < 2500 Eerst analyseren we de teller:
2 · 3 · 5 · · ·pk,
waar pk het
k-de priemgetal is (dus
p1 = 2, p2 = 3, enzovoorts). Een
grove afschatting geeft z > 2k, ofwel
Toepassing met z = x-y
geeft
Dan nu de noemer:
De priemgetalstelling
zegt dat het
aantal priemgetallen
kleiner dan z ongeveer
z/log(z) bedraagt.
Aldus is de noemer ongeveer
Conclusie uit de analyse van teller en noemer:
Met andere woorden,
met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid
geldt