Bewijs
Hier moeten we wel
nagaan dat de definities consistent zijn. Immers, als
x=x' mod n en y=y' mod n,
dan is bijvoorbeeld voor consistentie van de eerste definitie vereist dat
x+y=x'+y' mod n:
de uitkomst van de optelling mag niet afhangen van de gekozen representanten.
Welnu, x=x' mod n (respectievelijk y= y' mod n)
betekent dat er een geheel getal a (respectievelijk b) bestaat
zo dat x-x'=na (respectievelijk y-y'=nb). Hieruit volgt
(x+y)-(x'+y')=(x-x')+(y-y')=na +nb=n(a+b),
dat wil zeggen:
Nu de vermenigvuldiging. Met dezelfde notaties als boven vinden we:
x y-x' y'=x (y-y')+(x-x') y' =nbx+nay'=n(bx+ay').
Dus
xy=x'y' mod n.