Bewijs

1. Uit = 1 · volgt

+ + ··· + =(1+1+ ··· +1) =0· = 0.
 (p termen)  (p termen)

2. Het binomium van Newton levert

(+ )p= i=0ppi) i p-i = p + p

omdat ( pi) deelbaar is door p als 0 <i <p.

3. Omdat S precies q elementen bevat, bestaat S\{0} uit q-1 elementen, zeg 1, 2, ... , q-1. Als een van deze elementen is, dan geldt {1, 2, ... , q-1} = { 1, 2, ... , q-1}. Bekijk, om dit in te zien, vermenigvuldiging met op S\ {0}, dat wil zeggen de afbeelding S\{0} -> S\{0},     x -> x. We laten zien dat deze afbeelding injectief is: als x = y, dan ook x = (-1) x = -1( x) =-1( y) =(-1) y=y. Omdat vermenigvuldiging met op de eindige verzameling S\{0} injectief is, is het een bijectie. Vandaar de gelijkheid.

Voor het product P over alle elementen van S\{0} geldt nu: P = P. Immers, i=1q-1 i = i=1q-1 (i) = q-1 i=1q-1 i.

Omdat P een product van elementen ongelijk 0 is, is P ongelijk 0 in S. De afgeleide gelijkheid geeft q-1 P = P ofwel (1-q-1)P = 0. Omdat P niet 0 is, is het inverteerbaar en volgt 1-q-1=0, ofwel q-1=1. Vermenigvuldiging met geeft q = als in de bewering.

Rest het bewijs voor =0; dit wordt aan de lezer overgelaten.