Sectie 4.7
Oefeningen


Opgave
Ga in elk van de onderdelen na of de veeltermen a en b congruent zijn modulo c.



Opgave
In elk van de onderdelen is de equivalentieklasse van de veelterm a modulo d gegeven. Bepaal een representant van graad kleiner dan deg d.



Opgave
Bepaal representanten van alle equivalentieklassen in:



Opgave
In S = (Z/2Z)[X]/(X2+X+1) is a het element X+(X2+X+1).



Opgave
Laat a in R. Definieer een afbeelding

eval : R[X]/(X-a) -> R   door   f+(X-a) -> f(a).

(Aan de equivalentieklasse van f wordt toegevoegd de veeltermfunctie geëvalueerd in het punt a.)



Opgave
We definiëren twee afbeeldingen

f+ : Q[X]/(X2 -2) -> R

en

f- : Q[X]/(X2 -2) -> R

door

f+(a+(X2-2) ) = a(2)

en

f-(a + (X2 -2)) = a(- 2 ).

Beide afbeeldingen geven een manier om de restklassenring Q [X]/(X2-2) in verband te brengen met 2.

Opgave
Zij R gelijk aan Q, R, C of Z/pZ. Laat c, d een tweetal veeltermen in R[X] zijn van graad m, respectievelijk n. Veronderstel dat c en d onderling priem zijn. Laat zien dat er, voor elke a R[X] van graad kleiner dan m en b R[X] van graad kleiner dan n precies één veelterm f in R[X] van graad kleiner dan mn is waarvan de reductie modulo c gelijk is aan a en de reductie modulo d aan b. Dit is de Chinese reststelling voor veeltermen.

Opgave
Schrijf een algoritme in Maple of Mathematica dat de veelterm f uit de Chinese reststelling voor veeltermen berekent gegeven c en d.

Opgave
Bepaal de eerste 3 termen van de Taylorreeksen van de volgende functies door te rekenen modulo X4:



Opgave
Laat a, b en d veeltermen zijn uit Z[X] met d=ggd(a,b) (in de ring Q[X]). Veronderstel dat er ook een relatie is van de vorm af+bg=d met f, g Z[X]. Door de coëfficiënten van a en b te reduceren modulo het priemgetal p ontstaan veeltermen a, b en d in (Z/pZ)[X].



Opgave
In Q[X]/(X3 +X+1) is a het element X+(X3 +X+1).



Opgave
Bewijs of weerleg (door middel van tegenvoorbeelden) de volgende uitspraken. Hier zijn f, d veeltermen in R[X] en a, b, c R[X]/(d).



Opgave
Als d uit R[X] een veelterm is van graad 1, dan is de afbeelding R -> R[X]/(d), a -> a+(d) een bijectie. Bewijs dit.

Opgave
Een veelterm heet monisch als de kopcoëfficiënt gelijk is aan 1 . Als d een monische veelterm is in R[X] van positieve graad n, dan heeft elke equivalentieklasse in R[X]/(d) een representant van graad kleiner dan n. Bewijs dit. Laat zien dat als d=2X (Z/4Z)[X], de klasse X geen representant heeft van graad kleiner dan 1.

Opgave



Opgave
Laat zien dat d=X4 +X+1 (Z/2Z)[X] irreducibel is. Bepaal tabellen voor de optelling en vermenigvuldiging van (Z/2Z)[X]/(d). Laat zien (door inspectie van de tabellen) dat de restklassenring een deellichaam met 4 elementen bevat.