Sectie 4.9
Oefeningen


Opgave
Ga in elk van de onderdelen na of de veeltermen a(X) en b(X) congruent zijn modulo c(X).



Opgave
In elk van de onderdelen is de equivalentieklasse van de veelterm a(X) modulo d(X) gegeven. Bepaal een representant van graad kleiner dan de deg d(X).



Opgave
Bepaal representanten van alle equivalentieklassen in:



Opgave
In S=Z/2Z[X]/(X2+X+1) is a het element X+(X2+X+1).



Opgave
Laat a in R. Definieer een afbeelding

eval : R[X]/(X-a) --> R door: f(X)+(X-a) --> f(a).

(Aan de equivalentieklasse van f(X) wordt toegevoegd de veeltermfunctie geëvalueerd in het punt a.)



Opgave
We definiëren twee afbeeldingen

f + : Q [X]/(X2 -2) --> R

en

f - : Q [X]/(X2 -2) --> R

door

f +( a(X)+( X2 -2) )=a(\sqrt 2 )

en

f_( a(X)+( X2 -2) )=a(-\sqrt 2 ).

Beide afbeeldingen geven een manier om de restklassenring Q [X]/(X2 -2) in verband te brengen met \sqrt 2.

Opgave
Zij R gelijk aan Q, R, C of Z/pZ. Laat c(X), d(X) een tweetal veeltermen in R[X] zijn van graad m, respectievelijk n. Veronderstel dat c(X) en d(X) onderling priem zijn. Laat zien dat er, voor elke a(X)\in R[X] van graad kleiner dan m en b(X)\in R[X] van graad kleiner dan n precies een veelterm f(X)\in R[X] van graad kleiner dan mn waarvan de reductie modulo c(X) gelijk is aan a(X) en de reductie modulo d(X) aan b(X). Dit is de Chinese reststelling voor veeltermen.

Opgave
Schrijf een algoritme in Maple of Mathematica dat de veelterm f(X) uit de Chinese reststelling voor veeltermen berekent gegeven c(X) en d(X).

Opgave
Bepaal de eerste 3 termen van de Taylorreeksen van de volgende functies door te rekenen modulo x4:



Opgave
Laat a(X), b(X) en d(X) veeltermen zijn uit Z [X] met d(X)=ggd(a(X),b(X)) (in de ring Q[X]). Veronderstel dat er ook een relatie is van de vorm a(X)f(X)+b(X)g(X)=d(X) met f(X),g(X)\in Z [X]. Door de coëfficiënten van a(X) en b(X) te reduceren modulo het priemgetal p ontstaan veeltermen a(X), b(X) en d(X) in (Z/pZ )[X].



Opgave
In Q [X]/(X3 +X+1) is a het element X+(X3 +X+1).



Opgave
Bewijs of weerleg (door middel van tegenvoorbeelden) de volgende uitspraken. Hier zijn f(X), d(X) veeltermen in R[X] en a,b,c \in R[X]/(d(X)).



Opgave
Als d(X) uit R[X] een veelterm is van graad 1, dan is de afbeelding R -->R[X]/(d(X)), a-->a+(d(X)) een bijectie. Bewijs dit.

Opgave
Een veelterm heet monisch als de kopcoëfficiënt gelijk is aan 1 . Als d(X) een monische veelterm is in R[X] van positieve graad n, dan heeft elke equivalentieklasse in R[X]/(d(X)) een representant van graad kleiner dan n. Bewijs dit. Laat zien dat als d(X)=2X\in Z/4Z [X] de klasse X geen representant heeft van graad kleiner dan 1.

Opgave



Opgave
Laat zien dat d(X)=X4 +X+1 \in Z /2Z [X] irreducibel is. Bepaal tabellen voor de optelling en vermenigvuldiging van Z/2Z [X]/(d(X)). Laat zien (door inspectie van de tabellen) dat de restklassenring een deellichaam met 4 elementen bevat.

Opgave
Zij S een eindig lichaam van de vorm Z/pZ [X]/(d(X)), waarbij d(X) een irreducibele veelterm van graad d>0 is. In deze opgave bewijzen we een aantal resultaten die we al voor Z/pZ kenden, zie de Kleine stelling van Fermat .