Bewijs
Vergelijk het bewijs trouwens eens met dat van Hoofdstuk 1 .

Het bestaan van veeltermen q(X) en r(X) zoals in de uitspraak van de stelling.
Dit bewijzen we met inductie naar de graad n van a(X). Laat m de graad van b(X) zijn. Als n < m, dan nemen we q(X)=0, r(X)=a(X). We mogen dus aannemen dat n m. In het bijzonder, a(X) 0. Als a(X) een constante is (dus n = 0), dan ook m=0 en kunnen we q(X)=a/b en r=0 nemen. Veronderstel nu n>0 en (de inductiehypothese) dat het bestaan van veeltermen q(X), r(X) bewezen is voor veeltermen a(X) waarvan de graad kleiner is dan n. Laat nu

a(X) = a0 + a 1 X+ · · · + an Xn ,

met an 0 en laat

b(X) = b0 +b1 X+ · · · +b m X m

met b m 0. De graad van a(X)-(a n / b m )b(X)Xn-m is kleiner dan n. Op grond van de inductiehypothese zijn er dus veeltermen q1 (X) en r (X) met

a(X)-( an / bm )Xn-mb(X)=q1 (X)b(X) +r (X), deg (r (X)) < m.

Maar dan geldt

a(X)=q(X) b(X)+r(X), deg (r (X)) < m,

waarbij q(X)=q1 (X)+(an /bm )Xn-m.

De uniciteit.
Veronderstel dat a(X)=q(X)b(X)+r(X) en a(X)=q1(X)b(X) +r1(X) twee schrijfwijzen zijn als in de stelling. Neem het verschil van de twee uitdrukkingen:

(q(X)-q1(X))b(X) = r1(X)-r(X).

Hieruit volgt, met behulp van bovenstaande,

deg(q(X)-q1(X))+deg b(X) = deg ( (q(X)-q1(X))b(X) )

= deg ( r1(X)-r(X) )

< deg b(X),

zodat deg(q(X)-q1(X)) < 0. Dit kan alleen als q(X)-q1(X)=0 en dus r1(X)=r(X).