Bewijs

We geven hier alleen een indruk van het bewijs. Hieruit kan, met voldoende kennis van Analyse, een volledig bewijs uit gedestilleerd worden.

De veeltermfunctie x-> F(x) is het eerste stuk van de Taylorreeks ontwikkeling van f. Uit Analyse volgt dat er dan een reëelwaardige functie h bestaat zó dat

f(x) = F(x)+xn+1h(x)    als x->0.

Hieruit volgt dat F een n-de ordebenadering voor f is rond 0.

Voor wat betreft het tweede deel van de stelling, stel

g(x) = G(x)+O(xn+1)    als x->0.

Dan geldt

(fg -FG)(x) = (fg -Fg)(x) + (Fg -FG)(x) = g(x)O(xn+1)+ F(x)O(xn+1)= O(xn+1)   als x->0.  

Dus FG is inderdaad de n-de ordebenadering van fg rond 0.

Het bewijs voor f+g is eenvoudiger. Doe dit zelf.