Eerst laten we zien dat I goed gedefinieerd is. Laat a0 + a1X + ··· + amXm en b0 + b1X + ··· + bmXm twee veeltermen zijn die congruent zijn modulo n (volgens de afspraak uit Hoofdstuk 3 mogen we de hoogste macht van een monoom in zowel a als b gelijk m veronderstellen). Dan geldt dat ai en bi een n-voud verschillen voor i = 0, 1, . . . , m. Maar dit betekent dat ai = bi mod n voor i = 0, 1, . . . , m. Onze definitie hangt dus niet af van de gekozen representant.
Om de bijectiviteit van I te bewijzen,
moeten we injectiviteit en surjectiviteit aantonen.
Injectiviteit: als
I(a0 + a1X +
··· + amXm +
(n)) = I(b0 +
b1X + ··· +
bmXm + (n)), dan is
ai = bi mod n voor i
= 0, . . . , m. Dat impliceert dat n |
(ai - bi) voor elke i en
dus dat a0 + a1X +
··· + amXm en
b0 + b1X +
··· + bmXm
congruent modulo n zijn. Laat a = a0 +
a1X + ··· +
amXm een representant van
zijn en b = b0 + b1X
+ ··· + bmXm een
representant van
. Dan
geldt: I(
+
) = a0+b0 + (a1+b1)X
+ ··· +
(am+bm)Xm, (tel eerst
en
op volgens de definitie en pas dan het voorschrift van I
toe) terwijl I(
) +
I(
) =
(a0 + a1X + ··· + amXm) + (b0
+ b1X + ··· +
bmXm). Hieruit volgt de gelijkheid onmiddellijk.
Surjectiviteit: als
a0 + a1X +
··· + amXm in
(Z/nZ)[X], dan is
I(a0 + a1X+
· · · + amXm +
(n)) = a0 + a1X +
··· + amXm.
De bewijzen van de overige beweringen laten we aan de lezer over.