De bewijzen van rekenregels voor het rekenen modulo een
veelterm volgen uit de overeenkomstige rekenregels voor optellen en
vermenigvuldigen van veeltermen. Ter illustratie bewijzen we
(
+
)
=
·
+
·
.
Kies representanten a(X) uit
,
b(X) uit
en c(X) uit
.
Dan is
+
= b(X)
+ c(X) + (d(X))
volgens de definitie van de optelling. De definitie van de vermenigvuldiging
leert dan dat
(
+
) =
a(X)(b(X) + c(X))
+ (d(X)).
Omdat a(X)(b(X) + c(X))
= a(X)b(X) + a(X)c(X)
(dit is de overeenkomstige rekenregel voor veeltermen), vinden we
(
+
) =
a(X)b(X) + a(X)c(X)
+ (d(X)).
Voor de twee producten
·
en
·
die in het rechterlid van de te bewijzen rekenregel voorkomen krijgen we:
·
= a(X)b(X) + (d(X)) en
·
= a(X)c(X)} + (d(X)).
Dus
·
+
·
= a(X)b(X) + (d(X)) +
a(X)c(X) + (d(X))
en de rekenregel is bewezen. (In het bewijs hebben we consequent met een
vaste representant uit
etc. gewerkt; dit is strikt genomen niet nodig, maar blijkt hier wel handig.)