Bewijs
Existentie van een oplossing
We bewijzen het bestaan van een oplossing met volledige inductie naar k.
Het geval k=1 is triviaal. Vervolgens doen we het geval k=2, omdat
we dit geval nodig hebben voor de inductiestap. De oplossingen van de eerste
(respectievelijk tweede) congruentie zijn x=a1 +l1
m1 , met l1 geheel (respectievelijk
x=a2 +l2 m2
, met l2geheel). Voor een oplossing van beide congruenties
geldt dus a1 +l1 m1
=a2 +l2 m2 ofwel
l1 m1 -l2 m2
=a2 -a1 . Omdat ggd (m1
,m2 )=1 bestaan er gehele getallen l1
', l2' met l1 'm1
+l2 'm2 =1. Een oplossing van beide
congruenties is dus x=a1 +(a2
-a1 )l1 'm1 =a2
-(a2 -a1 )l2 'm2.
Nu de inductiestap. Op grond van de inductieveronderstelling heeft het
stelsel x= ai mod mi , i=1,2,
. . . ,k-1, een oplossing, a zeg. Bekijk nu het stelsel van
twee congruenties
x= a mod m1 m2 · · · mk-1
x= ak mod mk
De getallen m1 m2 · · · mk-1 en mk zijn onderling ondeelbaar, dus het geval k=2 leert dat dit stelsel een oplossing heeft. Deze oplossing is tevens een oplossing van het oorspronkelijke stelsel.
Uniciteit van de oplossing
De uniciteit is eenvoudig: zijn x en y twee oplossingen,
dan is x-y deelbaar door m1 , m2
, . . . ,mk en dus door het product m1·
· · m2 mk (alle m_i zijn
immers onderling priem). Met andere woorden, de oplossingen x en
y zijn gelijk modulo m1 m2 ·
· · mk.
Opgave
Breid het algoritme in bovenstaande paragraaf
uit tot een willekeurig stel moduli.