Schrijf nu
Herhaald toepassen van bovenstaande matrixvergelijking levert:
De rijen van B
Met Bij geven we de i,j-coëffiënt van B
aan. Door het laatste matrixproduct uit te schrijven zien we: ggd (a,b)
=B11a +B12 b en 0=B21a
+B22 b. De eerste vergelijking geeft ons x=B11
en y=B12 zoals gezocht. De eerste rij van B geeft
dus een oplossing x,y van xa+yb= ggd(a,b). Door a
en b op te vatten als onbekenden in deze twee vergelijkingen en
ggd(a,b) als gegeven grootheid, vinden we
Nu is echter
det (B)=det (An )· · · det (A1 ) =(-1)n.
Dus
a=(-1)nB22· ggd (a,b)
en
b=(-1)n+1 B12· ggd (a,b) .
De tweede rij van B geeft ons dus, op het teken na, welke veelvouden van de ggd a en b zijn.
Opgave
Ga na dat de matrix B ook als volgt, met de notatie van het
uitgebreide algoitme van Euclides, bepaald
kan worden:
Definieer
Dan is
Voorbeeld
We bepalen nogmaals de ggd van a=371 en b=119, en een
relatie van de vorm x· a +y· b= ggd (a,b).
De berekening van B met bovenstaande
methode gaat als volgt:
met product
Uit de eerste rij:
(-8)·371 +25 · 119 =7.
Uit de tweede rij lezen we af:
371=53· 7 en 119=17· 7.