Opgave
Ga in elk van de onderdelen na of de veeltermen a
en b congruent zijn modulo c.
Opgave
In elk van de onderdelen is de equivalentieklasse van de veelterm a
modulo d gegeven. Bepaal een representant van graad kleiner
dan deg d.
Opgave
Bepaal representanten van alle equivalentieklassen in:
Opgave
In S = (Z/2Z)[X]/(X2+X+1) is a
het element X+(X2+X+1).
Opgave
Laat a in R. Definieer een afbeelding
eval : R[X]/(X-a) -> R door f+(X-a) -> f(a).
(Aan de equivalentieklasse van f wordt toegevoegd de veeltermfunctie geëvalueerd in het punt a.)
Opgave
We definiëren twee afbeeldingen
f+ : Q[X]/(X2 -2) -> R
en
f- : Q[X]/(X2 -2) -> R
door
f+(a+(X2-2)
) = a(2)
en
f-(a + (X2 -2)) =
a(- 2 ).
Beide afbeeldingen geven een manier om de restklassenring Q
[X]/(X2-2) in verband te brengen met 2.
Opgave
Zij R gelijk aan Q, R, C of
Z/pZ. Laat c, d een tweetal
veeltermen in R[X] zijn van graad m,
respectievelijk n. Veronderstel dat c en d
onderling priem zijn. Laat zien dat er, voor elke a
R[X] van
graad kleiner dan m en b
R[X] van
graad kleiner dan n precies één veelterm f
in R[X] van graad kleiner dan mn is waarvan de
reductie modulo c gelijk is aan a en de reductie modulo
d aan b. Dit is de Chinese reststelling voor veeltermen.
Opgave
Schrijf een algoritme in Maple of Mathematica dat de veelterm f
uit de Chinese reststelling
voor veeltermen berekent gegeven c en d.
Opgave
Bepaal de eerste 3 termen van de Taylorreeksen van de volgende functies
door te rekenen modulo X4:
Opgave
Laat a, b en d veeltermen
zijn uit Z[X] met d=ggd(a,b)
(in de ring Q[X]). Veronderstel dat er ook een relatie is
van de vorm af+bg=d
met f, g
Z[X]. Door
de coëfficiënten van a en b
te reduceren modulo het priemgetal p ontstaan veeltermen a,
b en d in (Z/pZ)[X].
Opgave
In Q[X]/(X3 +X+1) is a het element
X+(X3 +X+1).
Opgave
Bewijs of weerleg (door middel van tegenvoorbeelden)
de volgende uitspraken. Hier zijn f, d veeltermen in
R[X] en a, b, c
R[X]/(d).
Opgave
Als d uit R[X] een veelterm is van graad
1, dan is de afbeelding R -> R[X]/(d),
a -> a+(d) een bijectie. Bewijs dit.
Opgave
Een veelterm heet monisch als de kopcoëfficiënt
gelijk is aan 1 . Als d een monische veelterm is in R[X]
van positieve graad n, dan heeft elke equivalentieklasse in R[X]/(d)
een representant van graad kleiner dan n. Bewijs dit. Laat zien
dat als d=2X
(Z/4Z)[X], de klasse X geen representant
heeft van graad kleiner dan 1.
Opgave
Opgave
Laat zien dat d=X4 +X+1
(Z/2Z)[X] irreducibel is. Bepaal tabellen voor de
optelling en vermenigvuldiging van
(Z/2Z)[X]/(d). Laat zien (door inspectie
van de tabellen) dat de restklassenring een deellichaam met 4
elementen bevat.