Bewijs
Het is voldoende aan te tonen dat het aangegeven stelsel onafhankelijk
is (over Z/pZ) en dat het stelsel de restklassenring
Z/pZ[X]/(d(X)) opspant. De kern
van het bewijs is gelegen in het feit dat elk element uit de restklassenring
precies een representant van graad kleiner dan n heeft . Eerst de
onafhankelijkheid van het stelsel. Veronderstel dat 0
· 1+
1 ·X +· · · +
n-1·
Xn-1=0 met
0 , . . . ,
n-1
Z/pZ , een lineaire combinatie van het stelsel
1,X, . . . , Xn-1 die optelt tot 0. De gelijkheid
vertelt dat
0 +
1 X+· ·
· +
n-1Xn-1 een representant
is van de klasse die 0 bevat. Elke klasse bevat echter precies een representant
van graad kleiner dan n. Derhalve geldt
0 +
1
X+· · · +
n-1Xn-1=0
in Z/pZ[X] en daaruit volgt dat
0
=
1 = · · · =
n-1=0.
Ten slotte: het stelsel spant Z/pZ[X]/(d(X))
op. Zij a een element uit de restklassenring. Dit element heeft
een representant van graad kleiner dan n, zeg
0
+
1 X+ · · · +
n-1Xn-1.
Maar dan is a=
0 ·1 +
1
· X+· · · +
n-1·
Xn-1 . Dus a is inderdaad een (Z/pZ--)lineaire
combinatie van de vectoren 1,X, . . . , Xn-1.