Sectie 1.3
Lineaire vergelijkingen voor gehele getallen


We beschrijven een algoritme om alle gehele oplossingen van de vergelijking

xa+yb=c

in de onbekenden x,y te vinden voor gegeven a,b,c in Z .
Merk op, als we de vergelijking interpreteren over Q dan zijn de oplossingen bekend: Als b niet 0 is, dan is elke oplossing van de vorm (x,y)=(x,(c-xa)/b), maar niet elke oplossing in Q is geheel. We bekijken allereerst een speciaal geval, de homogene vergelijking:

Lemma

Als xa+yb=0 en ggd(a,b)=1 , dan is er een geheel getal n met

x=-n b en y=n a .

Hieruit leiden we af:

Corollarium

Laat a,b in Z (niet beide 0). De gehele oplossingen van de vergelijking xa+yb=0 worden gegeven door

x=- n b/d en y= n a/d ,

waar d=ggd(a,b) en n in Z .