Het bewijs van een rekenregel

De bewijzen van rekenregels voor het rekenen modulo een veelterm volgen uit de overeenkomstige rekenregels voor optellen en vermenigvuldigen van veeltermen. Ter illustratie bewijzen we ( + ) = · + · . Kies representanten a uit , b uit en c uit . Dan is + = b + c + dR[X] volgens de definitie van de optelling. De definitie van de vermenigvuldiging leert dan dat ( + ) = a(b + c) + dR[X]. Omdat a(b + c) = ab + ac (dit is de overeenkomstige rekenregel voor veeltermen), vinden we ( + ) = ab + ac + dR[X]. Voor de twee producten · en · die in het rechterlid van de te bewijzen rekenregel voorkomen, krijgen we: · = ab + dR[X] en · = ac + dR[X]. Dus · + · = ab + dR[X] + ac + dR[X] en de rekenregel is bewezen. (In het bewijs hebben we consequent met een vaste representant uit etc. gewerkt; dit is strikt genomen niet nodig, maar blijkt hier wel handig.)