Analoog aan het begrip priemgetal voor getallen kunnen we het begrip
irreducibele veelterm voor veeltermen uit bijvoorbeeld Q [X]
invoeren en bewijzen dat elke veelterm geschreven kan worden als het product
van eindig veel irreducibele veeltermen. Het zal in deze paragraaf duidelijk
worden dat de analogie ver doorgetrokken kan worden: ook hier is een eenduidige
ontbinding. Een algoritme om de irreducibele factoren van een veelterm
te bepalen ligt echter niet zo voor de hand als de standaardroutine
van Hoofdstuk 1 om de priemdelers van een getal te vinden. In het vervolg
is R, zonder expliciete vermelding van het tegendeel, steeds Q,
R, C of Z/pZ met p priem. Deze
rekensystemen hebben gemeen dat elk element ongelijk 0 een multiplicatieve
inverse heeft.
Definitie
Een veelterm f(X)
R[X] heet irreducibel als deg(f(X)) >0 en
als de enige niet-constante veeltermen g(X) met g(X) | f(X)
graad deg f(X) hebben; dat wil zeggen, als de enige delers
van f(X) de constanten en de constante veelvouden van f(X)
zijn.
Opmerking
In plaats van irreducibel had men ook van priem kunnen spreken. In
ieder geval is dat het begrip voor getallen waar irreducibiliteit mee overeen
komt.
Lemma
Als f(X) irreducibel is van graad n en g(X) een
veelterm (ongelijk 0) van graad kleiner dan n, dan is ggd(f(X),g(X))=1.
Bewijs
Het bewijs volgt direct uit de definitie van irreducibiliteit.
Stelling
Laat f(X),g(X),h(X)
R[X]. Als f(X) en g(X) onderling ondeelbaar
zijn, dan geldt :
Als f(X) | g(X)h(X)
dan f(X) | h(X).
Bewijs
Er zijn veeltermen a(X) en b(X) met a(X)f(X)
+b(X)g(X)=1. Vermenigvuldig deze relatie met h(X):
a(X)f(X)h(X)+b(X)g(X)h(X)=h(X).
Omdat f(X) | a(X)f(X)h(X)
en f(X) | b(X)g(X)h(X)
volgt nu f(X) | h(X).
Corollarium
Als p(X) een irreducibele veelterm is en b 1(X)
, . . . , bs(X) zijn veeltermen zo dat
p(X) | b 1(X) b
2(X) · · · bs(X)
,
dan is er een index i { 1,
. . . ,s } met p(X) | bi(X).
Bewijs
Direct uit de stelling.
Eenduidige factorontbinding
Elke veelterm f(X)
R[X] ongelijk 0 kan geschreven worden als product van eindig veel
irreducibele veeltermen:
f(X) = p 1(X) ·
· · ps(X) , met s
0, en pi(X) irreducibel (i=1, . . . ,s).
Op de volgorde van de irreducibele factoren en vermenigvuldiging met
constanten na is deze schrijfwijze uniek.
Bewijs
Eerst bewijzen we met inductie naar deg f(X) dat f(X)
geschreven kan worden als product van irreducibele factoren.
Eerst het geval deg f(X)=0.
Hier nemen we s=0. Per definitie geldt dat een product met de lege
verzameling als indexverzameling (het lege product) gelijk is aan 1. Degenen
die deze start van de inductie verontrust, kunnen zonder bezwaar bij deg
f(X) = 1 beginnen. Vergeet de afspraak omtrent deg f(X)=0
echter niet.
Nu het geval deg f(X)>0.
De inductiehypothese luidt dat elke veelterm van graad kleiner dan deg
f(X) te schrijven is als product van irreducibele factoren.
Als f(X) irreducibel is, dan zijn we klaar. Als het dat niet
is, dan heeft f(X) een deler g(X) die voldoet aan
0<deg g(X) <deg f(X). De inductiehypothese leert
dat g(X) en f(X)/g(X) beide te schrijven zijn
als product van irreducibele factoren:
b=p 1(X) · · ·
p r(X) ,
f(X)/g(X)=pr+1(X)
· · · ps(X) .
Voor f(X) volgt dus
f(X)=p 1(X) ·
· · p r(X)· pr+1(X)
· · · ps(X) .
De uniciteit.
Ten slotte tonen we de uniciteit van de ontbinding aan. Ook hier gebruiken
we inductie. Schrijf n=deg f(X). Het geval n=0
is eenvoudig: alleen het product van constanten levert een constante op.
Veronderstel nu n>0, en veronderstel dat uniciteit bewezen is
voor veeltermen van graad <n.
Als f(X)=p 1(X) · ·
· p r(X) en f(X)=q
1(X) · · · qs(X)
twee schrijfwijzen zijn van f(X) als product van irreducibele
factoren, dan volgt hieruit dat p 1(X) | p
1(X) · · · p r(X)
=q 1(X) · · · qs(X).
Uit het Corrolarium concluderen we dat er een
index k { 1, . . . ,s } bestaat
met p 1(X) | qk (X).
Maar dan geldt p 1(X) =qk (X)
omdat qk (X) irreducibel is. Pas nu de inductiehypothese
toe op de veelterm f(X)/p 1(X) met
de twee schrijfwijzen als product van irreducibele factoren f(X)/p
1(X) =p 2(X) · ·
· p r(X) en f(X)/p
1(X) =q 1(X) · ·
· qk-1 (X) · qk+1
(X) · · · qs(X) .
Deze ontbindingen van f(X)/p 1(X)
zijn dezelfde (op de volgorde van de factoren en vermenigvuldigingen met
constanten na), en dus zijn ook de ontbindingen van f(X)
dezelfde.
Voorbeeld
Een veelterm van graad 1 (ook wel lineaire
veelterm genoemd) is irreducibel. De hoofdstelling van de algebra zegt
dat elke veelterm in C[X] een product van lineaire factoren
is. De enige irreducibele veeltermen zijn dus de lineaire.
Voorbeeld
In Q[X] bestaan wel irreducibele factoren van hogere
graad. Laat f(X)=X2+bX+c met b,c
Q. Dan is f(X)
reducibel (een ander woord voor `niet irreducibel')
als er een q Q zo
dat X-q | f(X). Dit komt neer op f(q)
=0 (vergelijk met de opgave uit de vorige Sectie).
Het is bekend dat f(X) een nulpunt heeft dan en slechts dan
als de discriminant van f(X) een waarde heeft die in Q
ligt. We concluderen dat f(X) Q[X]
irreducibel is dan en slechts dan als b2-4c geen
kwadraat in Q is. Neem nu eens b=0 en c=-2, zodat
f(X) = X2-2. Dan is f(X)
irreducibel in Q[X] volgens het net besproken criterium,
maar reducibel in R [X].
Opgave
Laat f(X) een veelterm van graad 3 zijn. Bewijs dat f(X)
reducibel is dan en slechts dan als f(X) een nulpunt in R
heeft.
Voorbeeld
Laat R=Z/2Z. We bewijzen dat de veelterm f(X)=X4+X+
irreducibel is in R[X]. Immers, f( )=f( )= ;
er zijn dus geen nulpunten, en daarom ook geen lineaire factoren van f(X).
Stel nu dat f(X)=g(X)h(X) met deg g(X)=deg
h(X) =2. Schrijf g(X)=X2+aX+b
en h(X)=X2+cX+d met a,b,c,d
Z/2Z. Dan geeft
f=gh de vergelijkingen:
a=c,
ac=b+d,
ad+bc = ,
bd = .
De laatste vergelijking impliceert b=d= ,
zodat de eerste en derde vergelijking geven =a+c= ,
een tegenspraak. Er volgt dat f(X) op geen enkele manier
geschreven kan worden als product van veeltermen van lagere graad, met
andere woorden, f(X) is irreducibel.
Opgave
Bepaal alle irreducibele veeltermen in Z/2Z[X]
van graad 3.
Opmerking
Zoals het Mathematica commando Factor al suggereert, bestaan
er wel degelijk algoritmen voor het vinden van irreducibele factoren van
veeltermen in R[X] als R=Q of Z/pZ.
Voor R=Q bestaat een methode uit het terugbrengen tot factorisatie
in Z[X], terwijl factorisatie in Z[X] mogelijk
(maar inefficiënt) is met behulp van interpolatie (zie volgende
sectie }). Voor R=Z/pZ bestaat een methode
die gebruikt maakt van de lineaire ruimte structuur van Z/pZ[X],
en die op zijn beurt van nut is bij efficiënte factorisatie van veeltermen
over Q.
Voorbeeld
Evenals voor getallen, vergelijk met het voorbeeld over het factorisatie-record
, is het niet moeilijk een factorisatie te verifiëren. Het is
echter niet altijd even makkelijk om na te gaan of de gevonden factoren
irreducibel zijn. Een bewijs dat een veelterm f
Z[X] irreducibel is, kan vaak geleverd worden door modulo
p te rekenen voor een priemgetal p. Er zijn echter veeltermen
f(X) Z[X]
die irreducibel zijn, maar factoriseren modulo elk priemgetal p.
Een voorbeeld is g(X) = X4+1. Modulo 2
factoriseert dit bijvoorbeeld als (X + )4
en modulo 3 als (X2 -X - )(X2
+X - ). Het voert hier
te ver om te laten zien dat X4 +1 modulo elk priemgetal
factoriseert.
|