Om een
lichaam met 9 elementen te maken (dus p=3 en n=2) moeten
we dus X8-1 factoriseren. Allereerst kunnen we
X4-1 wegdelen, waarin overigens al de factor
X2+1 zit, die irreducibel van graad 2 is. De deling geeft
X4+1. Omdat er geen lineaire factoren meer in deze
veelterm zitten, kunnen we veronderstellen dat het een product van
twee veeltermen van graad 2 is. Dit levert
de veeltermen
X2-X-1 en X2+X-1.
We maken nu een lichaam van graad 9 door met
d=X2+1 in zee te gaan. De restklassenring
S=Z/3Z[X]/(d) is dus een lichaam met
32=9 elementen.
Een van de bijzondere eigenschappen van de eindige lichamen is de
uniciteit. Waren we in ons voorbeeld met een van de andere twee
irreducibele veeltermen van graad 2 van slag gegaan, dan waren we in
essentie op hetzelfde lichaam uitgekomen. Een tipje van de sluier
wordt opgelicht door de minimumveeltermen van elementen in S
uit te rekenen. Daaronder blijken de twee andere irreducibele
veeltermen voor te komen.