Bewijs
`Als'
Veronderstel eerst dat n een priemgetal is. Als a een representant
van de klasse is,
dan is a niet deelbaar door n. Maar dan zijn a en n
onderling ondeelbaar en is de ggd (a,n)=1. Volgens Sectie
1.2 zijn er dan gehele getallen x en y met ax +ny
=1. In Z /n Z wordt deze relatie:
·
+
·
=
en dus:
.
=
.
`Slechts dan'
Omgekeerd, als n een deler m heeft met 1<m<n,
dan is een klasse
ongelijk
in Z
/nZ zonder multiplicatieve inverse. Immers uit
·
=
volgt dat mx-1 deelbaar is door n en dus door m. Maar
dan is m blijkbaar een deler van 1 in tegenspraak met 1<m.