Rekenen modulo n

Ter voorkoming van verwarring bespreken we het rekenen modulo de constante veelterm n (> 0) in de veeltermring Z[X] apart. Twee veeltermen uit Z[X] zijn congruent modulo n dan en slechts dan als voor elke i, de coëfficiënten van Xi een n-voud verschillen. Elke restklasse heeft dus een representant waarvan iedere coëfficiënt uit { 0,1 . . . ,n-1 } komt. Dit doet weer denken aan een veelterm uit (Z/nZ)[X]. Het verband verduidelijken we aan de hand van de volgende afbeelding:

I : Z[X]/(n) -> (Z/nZ)[X],

a0 + a1X+ · · · + amXm + (n) -> a0 + a1 X+ · · · + amXm

Omdat deze afbeelding gemaakt is met behulp van representanten, dienen we weer na te gaan dat het resultaat niet afhangt van de gekozen representanten.

Propositie

De afbeelding I is goed gedefinieerd en heeft de volgende eigenschappen:

  • I is een bijectie.
  • I respecteert de optelling: I( + ) = I() + I(); verder geldt I(0+(n)) = .
  • I respecteert de vermenigvuldiging: I( · ) = I() · I(); verder geldt I(1+(n)) = .

De conclusie is dus dat het rekenen in Z[X]/(n) op hetzelfde neerkomt als het rekenen in (Z/nZ)[X]. In vakjargon: de twee rekenstructuren zijn isomorf (= gelijk wat hun vorm betreft).