Sectie 5.3
De alternerende groep


Zoals we reeds hebben gezien, kunnen we elke permutatie schrijven als een product van transposities. We maken onderscheid tussen producten van even en van oneven lengte:

Definitie

Zij g Sn een permutatie. Het teken (signum) van g, aangegeven met sgn(g), is gelijk aan
  • -1 als g geschreven kan worden als product van een oneven aantal 2-cykels, en
  • 1 als dat niet kan.

We noemen g even, als sgn(g)=1 en oneven als sgn(g)=-1.


Het eenheidselement kan als product van een even aantal transposities geschreven worden, bijvoorbeeld als (1,2)(1,2). Maar niet als een product van een oneven aantal transposities:

Stelling

Het eenheidselement is even.