Sectie 5.4
Oefeningen
Opgave
In S6 zijn gegeven de permutaties a=(1,2,3),
b=(2,3,4,5,6) en c=(1,4,6,3).
- Bepaal a-1, abc, abc2,
c-1b en (acb)-1.
- Bepaal de tekens van de permutaties uit het vorige onderdeel.
Opgave
Schrijf alle elementen van A 4 als product van disjuncte
cykels.
Opgave
Hoeveel elementen uit S5 hebben de cykel-structuur
2,3?
Opgave
Verifieer dat g3
g-2 =g
voor g
Sn. Laat zien dat voor alle m,n
N de gelijkheid gm+n
=gm gn
geldt.
Opgave
Zij k een element van Sn,
met n>2.
- Als k commuteert met de transpositie
(i,j), met i
j, dan geldt k(i)
{i,j}. Bewijs dit. (Bekijk hiertoe k(i,j)k-1.)
- Laat zien dat als k commuteert
met de transposities (i,j) en (i,k), waarbij i
j
k
i, dan geldt k(i)=i.
- Laat zien dat de identieke afbeelding de enige permutatie in Sn
is, die commuteert met alle andere elementen uit Sn.
Opgave
Kies een willekeurige permutatie g in S9
- Bepaal de vaste punten van g.
- Schrijf g als product van
disjuncte cykels.
- Schrijf g-1 als
product van disjuncte cykels.
- Is g even?
Opgave
Bewijs dat voor n>4 elke permutatie in Sn
te schrijven is als een product van 4-cykels. Bewijs ook dat elke
even permutatie te schrijven is als een product van 5-cykels.
Opgave
Zij a=(1,2,3)(4,7,9)(5,6). Bepaal een b
S9 zo dat bab-1=(9,8,7)(6,5,4)(3,2).
Opgave
Zij a=(1,2) en b=(2, . . . , n).
- Bepaal bab-1.
- Bepaal b kab -k voor k
N.
- Laat zien dat elk element van Sn te schrijven is
als een product in de elementen a, b en b-1.
Opgave
Voor g
Sn definiëren we een matrix S met
S ij = 1 als i=g(j)
en 0 anders.
De matrix S heet de permutatiematrix
bij g.
- Bepaal de permutatiematrices voor de 6 permutaties uit S3.
- Bewijs: als g, h
Sn met bijbehorende permutatiematrices S en T,
dan is de permutatiematrix bij gh
gelijk aan ST.
- Bewijs: als g een transpositie
is, dan is det S=-1.
- Bewijs dat sgn(g)= det S.
Opgave
Nummer de hoekpunten van het vierkant met de getallen 1 tot en met
4.
- Welke permutatie van de vier hoekpunten beschrijft de rotatie over
+90° rond het middelpunt van het vierkant? En welke de spiegeling in
de diagonaal door de hoekpunten 1 en 3?
- Bepaal de permutaties g uit
S4 waarvoor geldt: als i en j een zijde
van het vierkant vormen, dan vormen g(i)
en g(j) ook een zijde
van het vierkant.
- Beschrijf elk van de permutaties uit het vorige onderdeel in meetkundige
termen als spiegeling of draaiing. Welke van deze permutaties zijn even?
Opgave
Bewijs de volgende uitspraken:
- Als g,h,k
Sn met gh=gk
dan h=k.
- Zij g
Sn, dan is de verzameling {gn
| n
N} eindig.
- Zij g
Sn, dan is er een m
N met gm=e.
- Zij G een deelverzameling van Sn met de eigenschap:
als g,h
G dan gh
G. Er geldt: als g
G dan ook g-1
G.
Opgave
Schrijf een algoritme dat voor gegeven getallen
g, n met ggd(g,n)=1, de vermenigvuldiging met
g op (Z/nZ)\{0} als een permutatie van {1,
... ,n-1} als product van disjuncte cykels beschrijft.