Sectie 3.5
Oefeningen


Opgave
Bereken de ggd in elk van de volgende gevallen en schrijf deze als veeltermcombinatie van de gegeven veeltermen.



Opgave
Ga na: als in Sectie 3.2 a, b veeltermen uit Z[X] zijn en b monisch is, dan zijn ook q, r veeltermen uit Z[X].

Opgave
Laat a, b in Q[X]. Bewijs: ggd(a,b) = 1 dan en slechts dan als er veeltermen p, q Q[X] bestaan met p a +q b =1. (Vergelijk Hoofdstuk 1 .) In dit geval noemen we a en b onderling priem.

Opgave
Wat gaat er mis met deling met rest in (Z/nZ)[X] als n geheel maar niet priem is?

Opgave
Laat f Z[X] een veelterm van graad 1 zijn. Bewijs dat f(n) (n Z) niet voor elke n een priemgetal is. [Hint: als f(n 0 )=p priem is, bekijk dan f(n0 +kp).]

Opgave
Laat f, g R[X] twee veeltermen zijn. Verifieer dat voor alle x R geldt:

(f+g)(x) =f(x)+g(x)

(f· g)(x) = f(xg(x)

Laat a R. Toon aan dat f(a) | g(a) als f | g.

Opgave
Laat zien dat voor elke priem p en elke veelterm a0 + a1X + · · · + amXm (Z/pZ)[X] geldt:

(a0 + a1X+ · · · +amXm)p = a0p + a1pXp + · · · + ampXmp.


Opgave
Verzin een equivalentierelatie op Z[X] waarmee je reductie modulo n van de coëfficiënten kunt beschrijven.

Opgave
Ga in elk van de volgende gevallen na of de aangegeven veelterm irreducibel is.



Opgave
In deze opgave werken we in Z . We definiëren een veelterm a van graad 100 als volgt: de coëfficiënt an is gelijk aan het aantal oplossingen van de vergelijking x=n. De veelterm b van graad 100 heeft als coëfficiënten bn het aantal (gehele) oplossingen van de vergelijking 2y=n. Voor welke n stelt de n-de coëfficiënt van ab het aantal oplossingen van de vergelijking x+2y=n voor?

Opgave
Bepaal alle veeltermen p Q[X] die aan p(x)=p(-x) voor alle x Q voldoen. Beantwoord dezelfde vraag ook in het geval Q vervangen is door Z/6Z respectievelijk Z/2Z.

Opgave
Gegeven is de veelterm a=a0 + ··· + an-1Xn-1 +Xn Z[X].



Opgave
Hoeveel veeltermen van graad n zijn er in (Z/3Z)[X]? Bepaal alle irreducibele veeltermen in (Z/3Z)[X] van graad 2 en 3.

Opgave
Een Pythagoreïsch drietal is een drietal positieve gehele getallen a, b, c met a2+b2 = c2. Het drietal 3, 4, 5 is bijvoorbeeld een Pythagoreïsch drietal. Laat zien dat uit de gelijkheid (X2-1)2 +(2X)2 = (X2+1)2 Pythagoreïsche drietallen te halen zijn door voor X rationale getallen in te vullen.

Opgave
Geef naar analogie met het in dit hoofdstuk besprokene een definitie van `veelterm over R in de onbepaalden X, Y'. Probeer redelijke definities van optelling en vermenigvuldiging van zulke veeltermen te geven. Kunt u een definitie van graad verzinnen?