Opgave
Als R = Z, Z/pZ (met p priem),
Q, R of C, en als
d(X)
R[X] een veelterm van graad > 0 is, dan is de afbeelding
j : R --> R[X]/(d(X)),
a --> a + (d(X))
injectief. Toon dit aan. Laat ook zien dat de afbeelding j niet
injectief is als R = Z/4Z en
d(X) =
X
+
.
Opgave
Laat d(X)
R[X]. In deze opgave maken we een scalaire
vermenigvuldiging op R[X]/(d(X)) met elementen
uit R. Voor
R en
= a(X) mod d(X) definiëren we:
·
:=
a(X) mod d(X).
- Laat zien dat deze scalaire vermenigvuldiging goed gedefinieerd is,
dat wil zeggen dat ze niet afhangt van de keuze van een representant van
.
- Laat zien dat
·
= 
(de laatste vermenigvuldiging is een vermenigvuldiging van elementen uit
R[X]/(d(X))). Ga na dat de definitie van scalaire
vermenigvuldiging geen problemen oplevert in verband met de afspraak omtrent
de notatie van elementen uit j(R) als j injectief is.
- In dit onderdeel is R gelijk aan R of C. Bewijs
dat de optelling en de net gedefinieerde scalaire vermenigvuldiging van
R[X]/(d(X)) een vectorruimte over R
maken.
- Toon aan dat de equivalentieklassen van 1 en van X een basis
(over R) vormen van R[X]/(X2 + 1).