Bewijs:

Eerst laten we zien dat I goed gedefinieerd is. Laat a0 + a1X + · · · + amXm en b0 + b1X + · · · + bmXm twee veeltermen zijn die congruent zijn modulo n (volgens de afspraak uit Hoofdstuk 3 mogen we de hoogste macht van een monoom in zowel a(X) als b(X) gelijk  m veronderstellen). Dan geldt dat ai en bi een n-voud verschillen voor i = 0, 1, . . . , m. Maar dit betekent dat ai = bi mod n voor i = 0, 1, . . . , m. Onze definitie hangt dus niet af van de gekozen representant.

Om de bijectiviteit te bewijzen, moeten we injectiviteit en surjectiviteit aantonen. Wat het laatste betreft: als a0 + a1X + · · · + amXm  in (Z/nZ)[X], dan is  I(a0 + a1X+ · · · + amXm + (n)) = a0 + a1X + · · · + amXm . Resteert de injectiviteit: als I(a0 + a1X + · · · + amXm + (n)) = I(b0 + b1X +· · · + bmXm + (n)), dan is ai = bi mod n voor i = 0, . . . , m. Dat impliceert dat n | (ai - bi) voor elke i en dus dat a0 + a1X +· · · + amXm en   b0 + b1X + · · · + bmXm congruent modulo n zijn. Laat a(X) = a0 + a1X + · · · + amXm een representant van zijn en b(X) = b0 + b1X + · · · + bmXm een representant van . Dan geldt: I( + ) = a0 + b0 + (a1 + b1)X + · · · + (am + bm)Xm, (tel eerst en op volgens de definitie en pas vervolgens het voorschrift van I toe) terwijl I() + I() = (a0 + a1X + · · · + amXm) + (b0 + b1X + · · · + bmXm). Hieruit volgt de gelijkheid onmiddellijk. De bewijzen van de overige beweringen laten we aan de lezer over.