Het begrip veelterm


Voorbeeld
Als we de haakjes uitwerken in de uitdrukking

(9X4)3+(3X-9X4)3-(9X3-1)3

en gelijke machten van X verzamelen, dan levert dat de uitdrukking 1 op. We concluderen dan dat deze veelterm gelijk is aan 1. Het `haakjes uitwerken' stoelt op de bewerkingen `vermenigvuldiging en optelling van veeltermen.' Een interpretatie van de gelijkheid is dat voor elk geheel getal dat je voor X invult, het resulterende getal 1 is.
Zo geldt ook

(X2 -1)2 + (2X)2 =(X2 +1)2 .


Sterker nog dan voor gehele getallen, zijn er verschillende schrijfwijzen voor een en dezelfde uitdrukking.

Definitie
Laat R een der verzamelingen Z, Q, R, C of Z /nZ zijn. Een veelterm over R in de onbepaalde X (kortweg veelterm in X of veelterm als geen verwarring mogelijk is) is een uitdrukking van de vorm

a 0 + a 1 X + · · · + a n-1Xn-1 + a n Xn ,

waarbij n N , a 0 , . . . ,a n R en waarbij X een onbepaalde is. De elementen a 0 , . . . ,a n R heten de coëfficiënten van de veelterm. Onder X0 verstaan we 1.


De veelterm is opgebouwd uit de termen

ak X k (k N ).

In de praktijk laten we een term 0 X k vaak weg; verder schrijven we meestal X k in plaats van 1X k (of X k ); evenzo -X k in plaats van (-1)X k (of (\ov{-1})X k ), en verkorten we een uitdrukking als X2 +(-4)X3 tot X2 -4X3. Van een term ak X k wordt ak de coëfficiënt en X k de monoom genoemd. Onder de monomen van een veelterm verstaat men de monomen van termen ak X k met ak 0. Een veelterm van de vorm X k heet ook wel monoom. De verzameling veeltermen over R in de onbepaalde X geven we aan met R[X]. Twee veeltermen over R in de onbepaalde X zijn gelijk als de corresponderende coëfficiënten gelijk zijn. Machten van X die niet in een veelterm optreden worden hierbij geacht coëfficiënt 0 te hebben. Veeltermen van de vorm a (a R) heten constant. Met behulp van de sommatienotatie schrijven we ook wel

a 0 + a 1 X+ · · · +a m X m = k=0m ak X k .



Opmerking

  • In plaats van het woord veelterm treft men ook de term polynoom aan. Evenals het woord monoom is deze term uit het Grieks afkomstig: poly=veel, mono=èèn, nomos=term, naam.
  • Uit de inclusies Z Q R volgen natuurlijk de inclusies Z [X] Q [X] R [X].



Voorbeeld
In plaats van 2+3X+0X2 -5X3 schrijven we 2+3X-5X3. In (Z /6Z )[X] zijn de veeltermen X2 , X2 -\ov{6}X4 en \ov{0} +\ov{12}X +\ov{8}X2 +\ov{-24}X3 +\ov{300}X9 gelijk.

Om de som en het product van twee veeltermen in R[X] te definiëren spreken we af dat we zo nodig in een veelterm extra termen 0X k opnemen.

Definitie
Laat a 0 + a 1 X + · · · + a n Xn, b 0 + b 1 X + · · · + b m X m R[X] twee veeltermen in X zijn. Op grond van bovenstaande afspraak mogen we aannemen dat m=n. De som van deze veeltermen definiëren we door:

k=0m ak X k + k=0m bk X k = k=0m (ak + bk )X k .

Het product van de twee veeltermen is de veelterm

( k=0m ak X k ) . ( k=0m bk X k ) = c 0 + c 1 X + · · · + c2m X2m

met ck =a 0 bk + a 1 bk-1 + · · · + ak b 0 . Vooruitlopend op Algebra 2 te introduceren terminologie, spreken we bij R[X] voorzien van deze optelling en vermenigvuldiging van de veeltermring R[X].


Voorbeeld
In (Z /6Z )[X] bekijken we de veeltermen +X +\ov{4}X2 en \ov{3} +\ov{11}X. Optellen levert:
(+X +\ov{4}X2 )+(\ov{3} +\ov{11}X)&= (+\ov{3}) +(+\ov{11})X +\ov{4} X2 \\ &=\ov{5}+\ov{4}X2 .
Vermenigvuldigen:
(+X +\ov{4}X2 )· (\ov{3} +\ov{11}X)&= · \ov{3} +(\cdot \ov{11}+· \ov{3})X\\ &\phantom{=}+(· \ov{11} +\ov{4}· \ov{3})X2 + \ov{4}· \ov{11}X3 \\ &=X +\ov{5} X2 +X3 .


Mathematica notebook over haakjes wegwerken in veeltermen.


Opmerking
Op de verzameling R[X] kunnen we ook een andere vermenigvuldiging * definiëren:

( k ak X k ) * ( k bk X k ) = k (ak bk )X k .

Dit product heet het Hadamard product. In dit verband is de notatie met de onbepaalde X niet zo handig.



Test