Voorbeeld
Het stelsel {(1,0), (0,1)} is een basis van V=(Z/7Z
)2 en de dimensie van deze ruimte is dan ook 2. Om te laten
zien dat het een basis betreft laten we zien dat het stelsel onafhankelijk
is en dat het V opspant. Als (1,0)+µ (0,1) =(0,0), dan
volgt (
,µ )=(0,0) en dus
=µ =0. Dit bewijst de onafhankelijkheid.
Verder is elk element (a,b)
V te schrijven als a(1,0)+b(0,1),
een lineaire combinatie van (1,0) en (0,1). Het stelsel spant dus V
op. Het opspansel van (2,3) bestaat uit de 7 vectoren (0,0), (2,3), (4,6),
(6,2), (1,5),(3,1), (5,4). Evenzo is W=(Z/7Z )3
een 3--dimensionale vectorruimte over Z/7Z. Het homogene
stelsel vergelijkingen
2x+y+z=0
3x+6y+2z=0
beschrijft een 1--dimensionale deelruimte. Oplossen van het stelsel
gaat op de gebruikelijke manier. Plaats de coëfficiënten in een
matrix en veeg tot normaalvorm.
Voorbeeld
De veelterm d(X)=X2+1 Z/3Z
[X] is irreducibel, dus is de restklassenring Z/3Z
[X]/(d(X)) een lichaam met 32=9 elementen.
De scalaire vermenigvuldiging van 2met X+1 levert 2X+2. De
door X+1 opgespannen ruimte bevat 3 elementen: 0, X+1 en
2X+2 (er zijn namelijk maar 3 scalairen).