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KNOT プログラムの紹介
トポロジーとコンピュータ 2005(2005-11-28,大阪産業大学梅田サテライト)
児玉宏児(神戸高専)
以下は, 2005年11月28〜30日 に行われた
"トポロジーとコンピュータ2005"
での児玉の講演をまとめなおしたものです.
講演では Magic Point を使用しました.
(mgp ファイル).
MGP ファイルは単なるテキストなので, エディタなどで読めます.
入手
- Linux版
(児玉, K.Kodama, 神戸高専).
- Windows版
(角 俊雄, T.Sumi, 九州大学)
- Knoppix/Math(濱田龍義, T.Hamada, 福岡大)
数学関連のソフトウェアの集成(ruby polynomial など)
起動
- GUI
- ./knot
描画用の窓が開く.
- メニューに登録してあれば, マウスでクリック.
- コマンドツールとしての利用.
機能一覧
- ./knot --help
- ./knot -s -v < k5c1
結び目の k5c1 ファイルを読み込ませ, Jones 多項式を求める例.
記録
ファイルに計算記録を残す.
- GUI では: メニューの [Files]-[log file:] の項を "on" にする.
トグルになっており, この項目をクリックする毎に on/off が切り替わる.
起動時のデフォルトでは "off" になっている.
knot -gui -log のように起動すると. 起動時に "on" にできる.(機能追加 2005-11-28)
- コマンドツールとしては, redirection の機能を使用すると良い:
./knot -s -v < Tbl/kt/k5c1 >> logfile.txt
入力ファイル, 出力ファイルを <, > で指定する.
描く
結び目, からみめ, 2-knot を描ける.
(操作の実演)
- 切断／接続
- 交点
- band
- band surgery
- Jump move
文字によるパラメータの入力
図を描く代わりに braid, n-data, pretzel, torus, 2-bridge などのパラメータで入力.
データファイルを作っておいて読み込む事もできる.
データの記述例(braid の例)
#_Knot_Data_Ver.2.0_1996_KDM_#
[BRAID]
3: 1 1 2 2 -1 -1 -2 -2
endcode
- 先頭の "3:" は braid index.
1, 2 などは生成元の番号, 負は逆元を表す.
- 書式の詳細は配布系に添付の文書 (Doc/DATA_FORMAT.txt) を参照.
- 記述例が配布系の Doc/sample/ にある.
不変量
- 結び目群: Wirtinger 表示
- Jones, HOMFLY, Kauffman's F, Q: skein relation から
- Alexander Ideal(1変数, 多変数), Conway: 群表示から free differential
- Signature: braid 化して Seifert surface の bases をとる
- Goerits 行列
- 置換表現
- 結び目群から S(n) (n-個の文字の置換からなる群)への表現.
- n-fold covering, n-次行列への表現(置換する先に 1が入る) などと解釈することができる.
- (branched/unbranched) covering 空間としての 1次元 Homology H_1
- twisted Alexander invariants
- 統計
例: Conway(Tbl/ka/conway),Kinoshita-Terasaka(Tbl/ka/kino-tera)を S(6) 表現で判別できる.
実演と解説.
$ ./knot -s -cov 6 < Tbl/ka/conway
....略
Number_of_coverings: 16
$ ./knot -s -cov 6 < Tbl/ka/kino-ter
....略
Number_of_coverings: 12
例: 統計の使い方.
実演と解説.
$ ./knot -s -cov 6 h1u dist < Tbl/ka/conway
....略
- sl2(p) 表現(Z_p 係数の 2次の行列の special linear):
- twisted Alexander invariants
例: p=7 のときの表現の個数で判別する例. conway 27個, kino-tera 23個
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