3 次方程式の解について

$f(x) = x^3+Ax^2+Bx+C$ に対し, $f(x)=0$ の解を Newton 法で求める 場合の初期値は次のように決められる.

1. $\forall x, f'(x) > 0$ の場合

2. $\exists x, f'(x) = 0$ の場合

   $f'(\alpha) = 0$, $f'(\beta) = 0$ ( $\alpha < \beta$) とすると $f(x)$ は $x=\alpha$ で極大, $x=\beta$ で極小.

   1. $f(\beta) > 0$ の場合 解は一つ. $x_0 < \alpha$ からスタート.
   2. $f(\alpha) < 0$ の場合 解は一つ. $x_0 > \beta$ からスタート.
   3. $f(\alpha) > 0, f(\beta) < 0$ の場合 解は三つ. $x_0 > \beta$, $x_0 < \alpha$, $x_0 = (\alpha+\beta)/2$ のそれぞれからスタート.