は
が十分小さいとき,
1 次元的に単振動をするバネについた質量 の物体 W を考えよう.
時刻
における,
の位置を
とすることにする.
ただし, バネが自然な長さにあるとき
とする.
フックの法則によると,
自然な長さから
だけのびた(負のときはちじんだとみなす)とき物体
にかかる力は
である.
ここで
はバネできまる定数.
ここで
と仮定して Newton の運動方程式を適用すると,
単振動の方程式
,
を定数として一般解は
であるが, この方程式を数値解法で解こう.
数値解法の利点は,
や
で解を書けないときでも,
微分方程式の近似解がわかることである.
式 (9.1) より,
が十分小さいとき,
数列の値を決めるには初期条件が必要であるが,
それは, 微分方程式の初期条件
を用いて
関係式
load("glib")$ def osci() { glib_window(0,-5,50,5); glib_clear(); glib_line(0,0,50,0); glib_line(0,-10,0,10); X1 = 0.5; X2 = 0.501; A=0.5; Dt = 0.07; T = 0; while (T<50) { X3 = 2*X2-X1+Dt*Dt*(eval(sin(A*T))-X2); glib_putpixel(T,X1); /* print([T,X1]); */ T=T+Dt; X1=X2; X2=X3; } } print("Type in osci()")$ end$
これで, 微分方程式を近似的に解く問題が, 漸化式をみたす数列を求める 問題になったのであるが, このような近似解が本当の解に収束するかとか, 全くことなる解しかとらえられない不安定現象が起こる場合が あるとかの議論をやらないといけない.