noro module syz

noro module syz User’s Manual Edition 1.0 Aug 2016

by Masayuki Noro

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1 noro module syz.rr

このマニュアルでは, asir-contrib パッケージに収録されている, 加群の syzygy および自由分解を計算するパッケージ ‘noro_module_syz.rr’ について解説する. このパッケージを

使うには, まず ‘noro_module_syz.rr’ をロードする.
     [...] load("noro_module_syz.rr");

このパッケージの函数を呼び出すには, 全て newsyz. を先頭につける.

1.1 加群の syzygy

1.1.1 newsyz.module_syz
newsyz.module_syz(f,v,h,O[|weyl=1])

syzygy の生成系 (グレブナー基底) を計算する.

return または多項式リストのリスト

f 多項式リスト, または多項式リストのリスト

v 変数リスト

h 非負整数

O 項順序

• 多項式多項式列またが多項式ベクトル列に対する syzygy 加群のグレブナー基底を計算する.

• f=[f1,...,fm] に対し, h1*f1+...+hm*fm=0 を満たす多項式ベクトル (h1,...,hm) 全体のなす加群のグレブナー基底を計算する.

• fi が多項式リストの場合, 自然に多項式ベクトルと見なす.

• 与えられた項順序 O に対し, 加群の項順序 [1,O] すなわち O で定まる POT (position over term) 項順序でのグレブナー基底を結果として返す.

• h が 0 のとき有理数体上で trace アルゴリズムにより計算する. h が 1 のとき有理数体上で斉次化 trace アルゴリズムにより計算する. h が 2 以上の素数のとき有限体上で計算する. オプション weyl が 1 のとき Weyl 代数上で, 左イデアル (左加群) として計算する.

     afo

1.2 加群の自由分解

1.2.1 newsyz.module_minres
newsyz.module_syz(f,v,h,O[|weyl=1])

加群の自由分解を計算する.

return 多項式リストのリストのリスト

f 多項式リスト, または多項式リストのリスト v 変数リスト

h 非負整数

O 項順序

• R を多項式環とする. f=[f1,...,fm] は R のイデアルまたは R^k の部分加群 (いずれも M とする) の生成系とする. この関数は, M の自由分解, すなわち完全列 0->F(l)->F(l-1)- >...->F(0)->M->0 を計算する. F(i)=R^(ni) とする.

• 結果は [fl,...,f0] なるリストで, fi は F(i)->F(i-1) (ただし F(-1)=M) なる写像を表すベクトル列である. fi=[g(1),...,g(n(i))] のとき, 各 gj はサイズ n(i-1) のリストで, F(i) の j 番目の標準基底ベクトルの像を表す.

• newsyz.module_syz を実行し, 得られた syzygy の生成系のうち, 定数を成分に持つものがある限り簡約を行う, という操作を単に繰り返すアルゴリズムを実装している.

• 前項により, f が斉次の場合, 極小自由分解を得る. f が斉次でない場合, 前項の簡約は単に F(i) のランクを小さくする簡単化となる.

• h, O, オプション weyl については newsyz.module_syz と同様である.

 afo

Index 3

Index

(Index is nonexistent) (Index is nonexistent)

Short Contents

1 noro module syz.rr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Table of Contents

1 noro module syz.rr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 加群の syzygy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 newsyz.module_syz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 加群の自由分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 newsyz.module_minres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3