浮動小数点数の内部表現

小数点のある数は計算機のなかで 32 bit または 64 bit のデータとして表現されている. このような数を浮動小数点数とよんでいる. この表現法を Intel 80386 系の CPUを例にして 32 bit 表現の場合に説明しよう. なお, Asir で関数 deval が戻すのは 64 bit の浮動小数点数である.

32 bit データは, 1 bit の符号 $s$, 8 bit の指数部 $e$ , 23 bit の仮数部 $t$ に分割される. ここで

$$e = (e_7,e_6, \ldots, e_0), \ t = (t_{22}, t_{21}, \ldots, t_1, t_0)$$

である. $s$, $e_i$, $t_i$ は $0$ か $1$ の値をとる. 以下, $1.t$ は

$$1+t_{22} 2^{-1} + t_{21} 2^{-2} + \cdots + t_1 2 ^{-22} + t_0 2^{-23}$$

を表すものと約束しよう. 80386 系の CPU の場合, $s$ が 0 のとき, 組 $(s,e,t)$ は, 数

$$1.t \times 2^{e-127}$$

を表す. $s$ が 1 のとき, 組 $(s,e,t)$ は, 数

$$-1.t \times 2^{e-127}$$

を表す. また $0$ は 組 $(0,0,0)$ または $(1,0,0)$ で表現する.

例:
$1$ は

 00        00       80       3F
 00000000  00000000 10000000 00111111    e は 011 1111 1

$-1$ は

 00        00       80       BF
 00000000  00000000 10000000 10111111    e は 011 1111 1 = 127
                             ^ 符号bit

$8$ は

 00        00       00       41
 00000000  00000000 00000000 01000001    e は 100 0001 0 = 130
                    -         ------- e を決める bit

$1.000000119209 \simeq 1.0/(2^{23}-1)$ は

 01        00       80       3F
 00000001  00000000 10000000 00111111    e は 011 1111 1 = 127
 --------  --------  -------   仮数部 t を決める bit
 76543210  fedcba98

$e$ が $0$ か $255={\tt0xff}$ のときは, 特別な意味をもつ. くわしくは IEEE754 規格をみよ.

上級者向け参考: 浮動小数点数がどのようにメモリに格納できるかを調べるには, メモリを''生''で扱える $C$ や マシン語などの言語を用いると 容易である. Basic などの言語ではこのようなことを調べるのは容易では ない. 次の $C$ のプログラムは, 入力された小数点数がメモリにどのように 格納されているのかを表示する.

#include <stdio.h>
main() {
  float a;
  unsigned char *p;
  int i;
  scanf("%f",&a);  p = (char *)&a;
  printf("%f\n",a); 
  for (i=0; i<sizeof(float); i++) {
    printf("%02x ", *p);
    p++;
  }
  printf("\n");
}

問題 10.3   同じような機能をもつ Asir プログラムを作成せよ.