2.7 D 加群の制限に関する関数

2.7.1 nk_restriction.restriction

nk_restriction.restriction(Id, VL, DVL, W)

:: D 加群 M = D / Id (ホロノミック D イデアル Id) に対して, 重みベクトル W についての制限加群を返す.

Id

イデアルの生成元のリスト

VL

変数のリスト

DVL

変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W

重みベクトルを表すリスト

• W の要素は非負整数で, 0 番目の要素から連続して正の整数が入らなければならない. (すなわち, [1,1,0,0,0] は OK だが、 [1,0,1,0,0] はダメ)
• 正の重みを持つ変数についての制限を行う. 例えば, VL =[x,y,z], W =[1,1,0] であれば, x,y について制限を行う.

以下は, イデアル I = D . { x dx -1, y dy - 1 } とおいた時, D 加群 M = D / I の x についての制限加群を計算した例である.

[1432] nk_restriction.restriction([x*dx-1,y*dy-1],[x,y],[dx,dy],[1,0]);
-- generic_bfct_and_gr :0.001sec(0.001629sec)
generic bfct : [[1,1],[s-1,1]]
S0 : 1
B_{S0} length : 2
-- fctr(BF) + base :0.000999sec(0.0005109sec)
[[y*dy-1,(y*dy-1)*dx,-1],[[1],[0]]]

返り値の第 1 番目の要素 [[1],[0]]] は, 制限加群の基底 dx^1, dx^0 を意味し, 返り値の第 0 番目の要素から, 制限加群は (y dy - 1, 0), (0, ydy-1), (-1,0) で生成されることがわかる.

2.7.2 nk_restriction.restriction_ideal

nk_restriction.restriction_ideal(Id, VL, DVL, W)

:: ホロノミック D イデアル Id を重みベクトル W についての制限イデアルを返す.

Id

イデアルの生成元のリスト

VL

変数のリスト

DVL

変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W

重みベクトルを表すリスト

• W の要素は非負整数で, 0 番目の要素から連続して正の整数が入らなければならない. (すなわち, [1,1,0,0,0] は OK だが, [1,0,1,0,0] はダメ)
• 正の重みを持つ変数についての制限を行う. 例えば, VL =[x,y,z], W =[1,1,0] であれば, x,y について制限を行う.

以下は, イデアル I = D . { x dx -1, y dy - 1 } の x についての制限イデアルを計算した例である。

[1346] nk_restriction.restriction_ideal([x*dx-1,y*dy-1],[x,y],[dx,dy],[1,0]);
-- generic_bfct_and_gr :0.002sec(0.001652sec)
generic bfct : [[1,1],[s-1,1]]
S0 : 1
B_{S0} length : 2
-- fctr(BF) + base :0sec(0.000566sec)
-- restriction_ideal_internal :0.001sec(0.0007441sec)
[-1]

2.7.3 nk_restriction.integration

nk_restriction.integration(Id, VL, DVL, W)

:: D 加群 M = D / Id (ホロノミック D イデアル Id) に対して, 重みベクトル W についての積分加群を返す.

Id

イデアルの生成元のリスト

VL

変数のリスト

DVL

変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W

重みベクトルを表すリスト

• W の要素は非負整数で, 0 番目の要素から連続して正の整数が入らなければならない. (すなわち, [1,1,0,0,0] は OK だが, [1,0,1,0,0] はダメ)
• 正の重みを持つ変数についての積分を行う. 例えば, VL =[x,y,z], W =[1,1,0] であれば, x,y について積分を行う.

以下は, イデアル I = D . {2 t dx + dt, t dt + 2 x dx + 2 } とおいた時, D 加群 M = D / I の t についての積分加群を計算した例である. ([SST, Ex5.5.2, Ex5.5.6])

[1351] nk_restriction.integration([2*t*dx+dt,2*x*dx+t*dt+2],[t,x],
[dt,dx],[1,0]);
-- generic_bfct_and_gr :0.001sec(0.001796sec)
generic bfct : [[1,1],[s,1],[s-1,1]]
S0 : 1
B_{S0} length : 2
-- fctr(BF) + base :0.001sec(0.0006731sec)
[[4*x*dx^2+6*dx,-4*t*x*dx^2-6*t*dx,2*x*dx+1,-2*t*x*dx,2*t*dx],[[1],[0]]]

返り値の第 1 番目の要素 [[1],[0]]] は, 積分加群の基底 t^1, t^0 を意味し, 返り値の第 0 番目の要素から, 積分加群は (4 x dx^2 + 6 dx, 0), (0, -4 x dx^2 - 6 dx), (0, -2 x dx), (0, 2 dx) で生成されることがわかる.

2.7.4 nk_restriction.integration_ideal

nk_restriction.integration_ideal(Id, VL, DVL, W)

:: ホロノミック D イデアル Id を重みベクトル W についての積分イデアルを返す.

Id

イデアルの生成元のリスト

VL

変数のリスト

DVL

変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W

重みベクトルを表すリスト

• W の要素は非負整数で, 0 番目の要素から連続して正の整数が入らなければならない. (すなわち, [1,1,0,0,0] は OK だが, [1,0,1,0,0] はダメ)
• 正の重みを持つ変数についての積分を行う. 例えば, VL =[x,y,z], W =[1,1,0] であれば, x,y について積分を行う.

以下は, イデアル I = D . {2 t dx + dt, t dt + 2 x dx + 2 } の t についての積分イデアルを計算した例である. ([SST, Ex5.5.2, Ex5.5.6])

[1431]  nk_restriction.integration_ideal([2*t*dx+dt,t*dt+2*x*dx+2],[t,x],
[dt,dx],[1,0]);
-- generic_bfct_and_gr :0.002999sec(0.002623sec)
generic bfct : [[1,1],[s,1],[s-1,1]]
S0 : 1
B_{S0} length : 2
-- fctr(BF) + base :0.001sec(0.001091sec)
-- integration_ideal_internal :0.002sec(0.001879sec)
[2*x*dx+1]

2.7.5 nk_restriction.ann_mul

nk_restriction.ann_mul(I, J, VL, DVL)

:: f を零化するホロノミック D イデアル I, g を零化するホロノミック D イデアルを J としたとき, fg を零化するホロノミック D イデアルを返す.

I

イデアルの生成元のリスト

J

イデアルの生成元のリスト

VL

変数のリスト

DVL

変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

• test_ann_mul(), test_ann_mul2(), test_ann_mul3() を参照.

2.7.6 nk_restriction (option)

nk_restriction.restriction(... | inhomo=n, param=p, s0=m)

nk_restriction.restriction_ideal(... | inhomo=n, param=p, s0=m, ht=b, ord=ord)

nk_restriction.integration(... | inhomo=n, param=p, s0=m)

nk_restriction.integration_ideal(... | inhomo=n, param=p, s0=m, ht=b, ord=ord)

:: D 加群の制限, 積分に関する関数のオプションの説明

n

0 または 1

p

リスト (係数体に属する変数のリスト)

m

整数

b

0, 1, 2, 3 のいずれか

ord

重み0の変数に対する項順序

• n が 0 でないとき, 非斉次部分の計算を行う.

  restriction_ideal (integration_ideal) に関しては, イデアル I の M 変数についての制限(積分)イデアル J と

  J[K]-(1/IH[K][1])(IH[K][0][0][0]IH[K][0][0][1]+...+IH[K][0][M][0]IH[K][0][M][1]) \in I

  を満たす非斉次部分を構成する情報 IH とのペア [J,IH] を出力する. 詳しい出力の見方については, 下の例やソースの inhomo_part の コメントを参照.

  restriction, integration に対する inhomo オプションは restriction_ideal, integration_ideal のサブルーチンとしての実行用なので, ユーザが明示的に使用することはない.

• param に指定された変数は係数体に属するものとみなされて計算が行われる. また, “generic” であることが仮定される. つまり, これらの変数に依存するような generic b-関数の根は, 最大整数根でないということである.
• param が指定されると, generic b-関数の計算は noro による 高速アルゴリズムではなく, 消去法が用いられる. param に空リストを指定することで, b-関数の計算方法のフラグとしても 利用できる.
• m が負でないとき, 計算を行わずに s-m を generic b-関数として 制限, 積分等の計算を行う.
• b により, 加群のグレブナ基底計算に斉次化, trace アルゴリズム を用いるかどうか指定できる. ただし, 斉次化ありで計算できるのは Risa/Asir バージョン 20100415 以降である.

  0: 斉次化なし, trace なし

  1: 斉次化なし, trace あり

  2: 斉次化あり, trace なし (デフォルト)

  3: 斉次化あり, trace あり

• ord が指定されると, 出力の積分, 制限イデアルは, その項順序に 関するグレブナ基底となる. 加群のグレブナ基底計算の POT 順序の tie breaker として使用されるので計算効率に大きな影響を与える可能性がある. デフォルトは 0, つまり全次数逆次書式順序である.

  このオプションは param と同時利用できない. (後に対応予定.)

以下は, t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a} の annihilator I = D . { x(1-x)dx^2+((1-t)dt-(a+b+1)x+c-1)dx-ab, (1-t)x dx+t(1-t)dt+(2-c)t+b-1, (xt-1)dx+at } の t についての積分イデアル J を計算し, Gauss の超幾何微分方程式を導出した例である. ([SST, Chap 1.3])

[1555] A=ndbf.ann_n([t,1-t,1-x*t])$
[1556] I=map(subst,A,s0,b-1,s1,c-b-1,s2,-a);
[(x^2-x)*dx^2+((t-1)*dt+(a+b+1)*x-c+1)*dx+b*a,(-t+1)*x*dx+(t^2-t)*dt+(-c+2)*t+b-1,(t*x-1)*dx+a*t]
[1557] J=nk_restriction.integration_ideal(I,[t,x],[dt,dx],[1,0]|inhomo=1, param=[a,b,c]);
-- nd_weyl_gr :0sec(0.001875sec)
-- weyl_minipoly_by_elim :0.008001sec(0.006133sec)
-- generic_bfct_and_gr :0.008001sec(0.006181sec)
generic bfct : [[-1,1],[s,1],[s-a+c-1,1]]
S0 : 0
B_{S0} length : 1
-- fctr(BF) + base :0sec(0.003848sec)
-- integration_ideal_internal :0sec(0.07707sec)
[[(x^2-x)*dx^2+((a+b+1)*x-c)*dx+b*a],[[[[dt,(-t+1)*dx]],1]]]

この出力は {(x^2-x)dx^2+((a+b+1)x-c)dx+ab } - 1/1 { dt (-t+1)dx } \in I であることを意味する.

この例のように積分変数が1変数 t, パラメータ変数が x のとき イデアル I に対する inhomo=1 での積分アルゴリズムの出力が [[L],[[[[dt,M]],N]]] である場合, L は x のみの微分作用素, M は x, t の微分作用素, N は数で, L - (1/N)*dt*M が I の元となる. したがって f(x,t) が I で零化される 函数とすれば, L integral(f(x,t),[t,a,b]) - (1/N)[(Mf)(a)-(Mf)(b)]=0 が成り立つ.

2.7.7 nk_restriction.trans_inhomo

nk_restriction.trans_inhomo(P, INT, VL, DVL, W)

:: D 加群の制限イデアル, 積分イデアルの生成元に対する非斉次部分の情報から, 任意の元に対する非斉次部分を計算する関数

P

積分イデアルの元, または制限イデアルの元

INT

nk_restriction.integration_ideal( ... |inhomo=1); または

nk_restriction.restriction_ideal( ... |inhomo=1); の出力

VL

変数のリスト

DVL

変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W

重みベクトルを表すリスト

• VL, DVL, W は INT の計算に用いたものをそのまま使用しなければならない.
• もし, P が INT[0] で生成される積分, 制限イデアルの元でない場合はエラーメッセージが表示される.

2.7.8 nk_restriction.ost_integration_ideal

積分領域が区間の直積であるような積分の満たす ホロノミック斉次微分方程式系を返す (Oaku-Shiraki-Takayama, 2003).

nk_restriction.ost_integration_ideal(Id, VL, DVL, W, LB, UB)

:: Heaviside 関数との積の満たす微分方程式系の計算にショートカット法を用いる.

nk_restriction.ost_integration_ideal2(Id, VL, DVL, W, LB, UB)

:: Heaviside 関数との積の満たす微分方程式系の計算に制限イデアルを用いる.

Id

イデアルの生成元のリスト

VL

変数のリスト

DVL

変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W

重みベクトルを表すリスト

LB

積分区間の下端を表すリスト

UB

積分区間の上端を表すリスト

• 下端, 上端に無限大を指定するときは, 文字列 "inf", "+inf", "-inf" を用いる.

以下は, Oaku-Shiraki-Takayama (2003) の例5.1を計算したものである. \int_0^∞ exp((-t^3+t)x) dt の被積分関数の満たすホロノミックイデアルは I = < dt +(3t^2-1)x, dx+t^3-t > であるから, これを入力として次のように計算を行う.

[1871] Id=[dt+(3*t^2-1)*x, dx+t^3-t]$
[1872] VL=[t,x]$
[1873] DVL=[dt,dx]$
[1874] W=[1,0]$
[1875] nk_restriction.ost_integration_ideal(Id,VL,DVL,W,[0],["inf"]);
-- nd_weyl_gr :0.008sec(0.006768sec)
-- weyl_minipoly :0.004001sec(0.003029sec)
-- generic_bfct_and_gr :0.012sec(0.0129sec)
generic bfct : [[1,1],[s,1],[s-2,1]]
S0 : 2
B_{S0} length : 3
-- fctr(BF) + base :0.008sec(0.007395sec)
-- integration_ideal_internal :0.012sec + gc : 0.016sec(0.04311sec)
[-27*x^3*dx^3-54*x^2*dx^2+(4*x^3+3*x)*dx+4*x^2-3,27*x^2*dx^4+135*x*dx^3+(-4*x^2+105)*dx^2-16*x*dx-8]


[1876] nk_restriction.ost_integration_ideal2(Id,VL,DVL,W,[0],["inf"]);
(略)
[27*x^3*dx^3+54*x^2*dx^2+(-4*x^3-3*x)*dx-4*x^2+3,-27*x^2*dx^4-135*x*dx^3+(4*x^2-105)*dx^2+16*x*dx+8]

この出力は, 積分を零化するホロノミック系である.

2.7.9 nk_restriction.ost_sum

nk_restriction.ost_sum(Id, VL, DVL, W)

:: 和の満たす(斉次/非斉次)差分方程式系を返す.

Id

イデアルの生成元のリスト

VL

変数のリスト

DVL

変数のリスト(VL に対応する差分作用素の方の変数)

W

重みベクトルを表すリスト

• Oaku-Shiraki-Takayama (2003) の第6節のアルゴリズムの実装.
• オプション inhomo が 0 でないとき, 非斉次部分を与える情報も返す.

以下は, Oaku-Shiraki-Takayama (2003) の例6.5の非斉次部分まで計算したものである. \sum_{k=a}^b n_C_k の非和関数の満たすホロノミックイデアルは I = < (n-k+1)E_n-(n+1), (k+1)E_k-(n-k) > であるから, これを入力として次のように計算を行う.

[1871] Id=[(n-k+1)*en-(n+1), (k+1)*ek-(n-k)]$  
[1872] VL=[k,n]$
[1873] DVL=[ek,en]$
[1874] W=[1,0]$
[1875] nk_restriction.ost_sum(Id,VL,DVL,W|inhomo=1);
-- nd_weyl_gr :0.006667sec(0.004057sec)
-- weyl_minipoly :0sec(0.001163sec)
-- generic_bfct_and_gr :0.01sec(0.007085sec)
generic bfct : [[1,1],[s,1]]
S0 : 0
B_{S0} length : 1
-- fctr(BF) + base :0.003333sec(0.001785sec)
-- restriction_ideal_internal :0sec(0.002336sec)
[[(en-2)*n+en-2],[[[[ek-1,[(-en+1)*n-en+1,1]]],1]]]

2.7.10 nk_restriction.module_restriction

nk_restriction.module_restriction(M, VL, DVL, W)

:: D 加群 D^r/M (M は D^r の部分加群) の重みベクトル W についての制限加群を返す.

M

D 自由加群 D^r の部分加群

VL

変数のリスト

DVL

変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W

重みベクトルを表すリスト

• W の要素は非負整数で, 0 番目の要素から連続して正の整数が入らなければならない. 現在のところ, 1 変数についてだけ制限をとるようにしか実装していないため, W は 0 番目の要素だけ正の整数が入る.
• 正の重みを持つ変数についての制限を行う. 例えば, VL =[x,y,z], W =[1,0,0] であれば x について制限を行う.

以下は, D 自由加群 D^2 の部分加群 M = D . { (dx, dy), (dy, dx), (x, y) } をとり, D 加群 D^2 / M の x ついての制限加群を計算した例である.

[2691] nk_restriction.module_restriction([[dx,dy],[dy,dx],[x,y]], [x,y], [dx,dy], [1,0]);
....
bfunction : 
s
[[1,1],[s,1]]
integer roots :
[0,0]
Generators: 
[e1,e2]
Relations: 
[-8*e2*dy,4*e2*dy^2,-4*e2*dy^3,4*e1*y*dy-4*e1,-4*e1*dy^2,-4*e2,-e2*y*dy^2+2*e2*dy,-e1*y*dy+e1,e1*y*dy-e1]
[[0,-1],[-dy^2,0],[y*dy-1,0]]

制限加群は (0, -1), (-dy^2, 0), (y, dy-1, 0) で生成されることがわかる.

2.7.11 nk_restriction.module_integration

nk_restriction.module_integration(M, VL, DVL, W)

:: D 加群 D^r/M (M は D^r の部分加群) の重みベクトル W についての積分加群を返す.

M

D 自由加群 D^r の部分加群

VL

変数のリスト

DVL

変数のリスト(VL に対応する微分作用素の方の変数)

W

重みベクトルを表すリスト

• W の要素は非負整数で, 0 番目の要素から連続して正の整数が入らなければならない. 現在のところ, 1 変数についてだけ積分をとるようにしか実装していないため, W は 0 番目の要素だけ正の整数が入る.
• 正の重みを持つ変数についての積分を行う. 例えば, VL =[x,y,z], W =[1,0,0] であれば x について積分を行う.

以下は, D 自由加群 D^2 の部分加群 M = D . { (x, y), (y, x), (dx, dy) } をとり, D 加群 D^2 / M の x についての積分加群を計算した例である.

[2702] nk_restriction.module_integration([[x,y],[y,x],[dx,dy]], [x,y], [dx,dy], [1,0]);
...
bfunction : 
s
[[1,1],[s,1]]
integer roots :
[0,0]
Generators: 
[e1,e2]
Relations: 
[-8*e2*y,-4*e2*y^2,-4*e2*y^3,-4*e1*y*dy-8*e1,-4*e1*y^2,-4*e2,-e2*y^2*dy-4*e2*y,e1*y*dy+2*e1,e1*y*dy+2*e1]
[[0,-1],[y*dy+2,0],[-y^2,0]]

積分加群は (0, -1), (y dy + 2, 0), (-y^2, 0) で生成されることがわかる.

ChangeLog

• これらの関数は OpenXM/src/asir-contrib/packages/src/nk_restriction.rr で定義されている. nk_restriction.rr, 1.1–1.6 を見よ.
• 2010-02-05 に 3 つの option (inhomo, param, s0) が追加された. 1.7–1.9 を見よ.
• 2010-05 から 2010-07 にかけて 2 つの option (ht, ord) と 新たな関数 trans_inhomo() が追加された. 1.10–1.13 を見よ.
• 2011-08 に ost_sum() が追加された. 1.20 を見よ.
• 2016-05 に module_integration(), module_restriction() が追加された.

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