受賞者

業績題目

西谷達雄（大阪大学大学院理学研究科）

双曲型偏微分方程式の初期値問題に関する適切性の研究

相川弘明（北海道大学大学院理学研究院）

複雑領域上のポテンシャル論の研究

小川卓克（東北大学大学院理学研究科）

実解析的手法による臨界型非線形偏微分方程式の研究

受賞者

相川弘明（北海道大学大学院理学研究院）

業績題目

複雑領域上のポテンシャル論の研究

受賞理由

相川弘明氏の主な業績は，ユークリッド空間の領域の境界近傍での調和関数の解析的性質と領域の幾何学的性質との関わりを明らかにするという研究テーマに関するものである．領域が球などの場合には，調和関数に関する古典的な結果として，正値の調和関数が境界のほとんどいたるところで非接境界値を持つこと（Fatou の定理），正値調和関数は境界上の測度の Poisson 積分として一意的に表されること（Riesz-Herglotz の定理），二つの正値調和関数の境界近傍での値の比較に関する境界 Harnack 原理，などがよく知られている．１９６０年代以降の多くのポテンシャル論研究者の関心は，これらの基本的な結果が，滑らかでない境界を持つ領域の場合にどこまで一般化されるか，という問題であった．この問題に対して相川氏は，フラクタル状の境界をもつ領域など非常に広いクラスの複雑な境界を持つ領域において基本的な結果が成立することを示した．この一般化はそれ自身重要なポテンシャル論の成果であるが，相川氏はさらに進んで，逆に，それらの領域の幾何学的性質は調和関数のポテンシャル論的性質が成り立つために必要である，といういくつかの結果を示した．例えば，John 領域と呼ばれる領域は調和測度の或る評価によって特徴付けられ，一様領域は一様境界 Harnack 原理で特徴付けられる．また，John 領域のうち相川氏の導入した準一様領域は，調和測度の強２倍条件で特徴付けられる．また，相川氏は領域の位相的な境界点に対応する理想境界の点の個数を領域の John 定数によって評価する結果なども示している．相川氏のこれらの結果は，幾何学的解析学を含む広い分野の最近の解析学を統合し深い考察を行って得られたもので，ポテンシャル論に関する革新的かつ重要な意味をもつ成果であり，解析学賞にふさわしいものである．